T5: Probabilidad · Probabilidad Total y Bayes — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andaluc%C3%ADa 2023

Probabilidad Total y Bayes

Problema

2023 · Ordinaria · Suplente

Durante la pasada temporada, una tenista ganó el $90$ % de los partidos que jugó sobre tierra y la mitad cuando lo hizo sobre otro tipo de superficie. De los $40$ partidos que jugó la temporada pasada, $25$ lo hizo sobre tierra. Elegido al azar un partido de la temporada pasada de esta tenista, halle la probabilidad de que:

a) Ganase el partido.b) No ganase sabiendo que jugó sobre tierra.c) Jugase sobre tierra sabiendo que ganó.

ProbabilidadTeorema de la probabilidad totalTeorema de Bayes

Definimos los siguientes sucesos: $T$ : La tenista jugó sobre tierra. $O$ : La tenista jugó sobre otra superficie. $G$ : La tenista ganó el partido. $N$ : La tenista no ganó el partido.A partir de los datos del problema, podemos establecer las siguientes probabilidades:Total de partidos: $40$ Partidos sobre tierra: $25$ Partidos sobre otra superficie: $40 - 25 = 15$

P(T) = \frac{25}{40} = \frac{5}{8} = 0.625

P(O) = \frac{15}{40} = \frac{3}{8} = 0.375

Porcentaje de partidos ganados sobre tierra: $90 \%$ , lo que significa:

P(G|T) = 0.90

Porcentaje de partidos ganados sobre otra superficie: $50 \%$ , lo que significa:

P(G|O) = 0.50

a) Ganase el partido.

Para hallar la probabilidad de que la tenista ganase un partido elegido al azar, utilizamos el teorema de la probabilidad total:

P(G) = P(G|T) \cdot P(T) + P(G|O) \cdot P(O)

P(G) = (0.90) \cdot (0.625) + (0.50) \cdot (0.375)

P(G) = 0.5625 + 0.1875

P(G) = 0.75

b) No ganase sabiendo que jugó sobre tierra.

Esta probabilidad es $P(N|T)$ . Sabiendo que $P(G|T) = 0.90$ , la probabilidad de no ganar sobre tierra es el complemento:

P(N|T) = 1 - P(G|T)

P(N|T) = 1 - 0.90

P(N|T) = 0.10

c) Jugase sobre tierra sabiendo que ganó.

Para hallar esta probabilidad, $P(T|G)$ , utilizamos el teorema de Bayes:

P(T|G) = \frac{P(G|T) \cdot P(T)}{P(G)}

Ya hemos calculado $P(G|T) = 0.90$ , $P(T) = 0.625$ y $P(G) = 0.75$ .

P(T|G) = \frac{0.90 \cdot 0.625}{0.75}

P(T|G) = \frac{0.5625}{0.75}

P(T|G) = 0.75