T2: Interacción electromagnética

Inducción electromagnética

Problema

2020 · Ordinaria · Reserva

2-b

b) Una bobina formada por

1000

espiras circulares de

0,025 \text{ m}

de radio se encuentra dentro de un campo magnético variable con el tiempo de módulo:

B(t) = 1 + 0,5t - 0,2t^2 \text{ (T)}

. La dirección del campo forma un ángulo de

30^{\circ}

con el plano de las espiras. Calcule: i) El flujo magnético para

t = 2 \text{ s}

. ii) La fuerza electromotriz inducida para

t = 2 \text{ s}

Flujo magnéticoFuerza electromotriz inducidaLey de Faraday

b) i) El flujo magnético para

t = 2 \text{ s}

El área de una espira es:

A = \pi r^2

A = \pi (0,025 \text{ m})^2 = 0,000625\pi \text{ m}^2 \approx 1,96 \times 10^{-3} \text{ m}^2

El campo magnético en $t = 2 \text{ s}$ es:

B(t) = 1 + 0,5t - 0,2t^2

B(2) = 1 + 0,5(2) - 0,2(2)^2 = 1 + 1 - 0,2(4) = 2 - 0,8 = 1,2 \text{ T}

El flujo magnético a través de una espira se define como $\Phi_1 = BA \cos\theta$ , donde $\theta$ es el ángulo entre el vector campo magnético $\vec{B}$ y el vector normal al área $\vec{A}$ . Si el campo forma un ángulo de $30^\circ$ con el plano de las espiras, el ángulo con la normal es $\theta = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$ .El flujo magnético total a través de las $N$ espiras es:

\Phi_{total}(t) = N B(t) A \cos\theta

\Phi_{total}(2) = 1000 \cdot (1,2 \text{ T}) \cdot (0,000625\pi \text{ m}^2) \cdot \cos(60^\circ)

\Phi_{total}(2) = 1000 \cdot 1,2 \cdot 0,000625\pi \cdot 0,5 = 0,375\pi \text{ Wb}

\Phi_{total}(2) \approx 1,178 \text{ Wb}

b) ii) La fuerza electromotriz inducida para

t = 2 \text{ s}

Según la Ley de Faraday, la fuerza electromotriz inducida (fem) es:

\mathcal{E} = -\frac{d\Phi_{total}}{dt} = -N A \cos\theta \frac{dB}{dt}

Calculamos la derivada del campo magnético respecto al tiempo:

\frac{dB}{dt} = \frac{d}{dt}(1 + 0,5t - 0,2t^2) = 0,5 - 0,4t \text{ (T/s)}

Evaluamos esta derivada en $t = 2 \text{ s}$ :

\frac{dB}{dt}(2) = 0,5 - 0,4(2) = 0,5 - 0,8 = -0,3 \text{ T/s}

Ahora sustituimos los valores en la expresión de la fem inducida:

\mathcal{E}(2) = -1000 \cdot (0,000625\pi \text{ m}^2) \cdot \cos(60^\circ) \cdot (-0,3 \text{ T/s})

\mathcal{E}(2) = -1000 \cdot 0,000625\pi \cdot 0,5 \cdot (-0,3)

\mathcal{E}(2) = 0,09375\pi \text{ V}

\mathcal{E}(2) \approx 0,295 \text{ V}