T1: Interacción gravitatoria · Campo gravitatorio — FISICA PEvAU Andaluc%C3%ADa 2018

Campo gravitatorio

Teoría

2018 · Extraordinaria · Titular

1B-a

a) Dibuje las líneas de campo gravitatorio de dos masas puntuales de igual valor y separadas una cierta distancia. ¿Existe algún punto donde la intensidad de campo gravitatorio se anula? ¿Y el potencial gravitatorio? Razone sus respuestas.

Líneas de campoIntensidad de campoPotencial gravitatorio

a) Diagrama de líneas de campo gravitatorio:

Las líneas de campo gravitatorio son líneas que entran hacia cada masa (el campo gravitatorio es siempre atractivo). Las líneas parten del infinito y convergen hacia cada masa puntual. Entre las dos masas, las líneas de campo de cada masa apuntan en sentidos opuestos a lo largo del eje que las une.

¿Existe algún punto donde la intensidad de campo gravitatorio se anula?

Sí. El campo gravitatorio es una magnitud vectorial. En el punto medio P entre las dos masas iguales, los campos producidos por cada masa tienen la misma magnitud pero dirección opuesta, por lo que se anulan vectorialmente.Si llamamos $d$ a la distancia de separación entre las masas, en el punto medio (a distancia $d/2$ de cada masa), el campo producido por cada masa vale:

g_1 = \frac{GM}{(d/2)^2} \quad \text{(dirigido hacia la masa izquierda)}

g_2 = \frac{GM}{(d/2)^2} \quad \text{(dirigido hacia la masa derecha)}

Como ambos vectores tienen el mismo módulo pero sentidos contrarios a lo largo del eje:

\vec{g}_{\text{total}} = \vec{g}_1 + \vec{g}_2 = \vec{0}

Por tanto, el punto donde se anula la intensidad de campo gravitatorio es el punto medio entre las dos masas iguales (y, por razones de simetría, también en todos los puntos del plano mediador perpendicular al segmento que une las masas, pero solo si se considera la componente a lo largo del eje; en general, solo el punto exactamente en el centro del segmento anula completamente el campo en la dirección del eje, y el plano mediador anula la componente axial del campo).

¿Existe algún punto donde el potencial gravitatorio se anula?

No. El potencial gravitatorio es una magnitud escalar y su expresión en un punto cualquiera del espacio debida a las dos masas es la suma algebraica de los potenciales individuales:

V = V_1 + V_2 = -\frac{GM}{r_1} - \frac{GM}{r_2}

Donde $r_1$ y $r_2$ son las distancias al punto considerado desde cada masa. Dado que el potencial gravitatorio es siempre negativo (y solo se anula en el infinito, donde $r_1 \to \infty$ y $r_2 \to \infty$ ), la suma de dos términos negativos nunca puede ser cero en ningún punto finito del espacio.

V = -\frac{GM}{r_1} - \frac{GM}{r_2} < 0 \quad \forall \, r_1, r_2 \text{ finitos}

Por tanto, el potencial gravitatorio solo se anula en el infinito, pero en ningún punto del espacio entre las masas (ni en ningún otro punto finito) puede ser cero, ya que ambas contribuciones son negativas y su suma siempre es negativa.