T6: Física nuclear · Radiactividad — FISICA PEvAU Andaluc%C3%ADa 2025

Radiactividad

Problema

2025 · Extraordinaria · Titular

D-b2

La masa de un núcleo de plutonio-239 es $239,05 \text{ u}$ y su periodo de semidesintegración es $24200 \text{ años}$ . Determine:

i) la constante de desintegración.ii) la actividad de una muestra de

1 \text{ mg}

de plutonio-239.iii) el tiempo necesario para que quede el

25\%

de los núcleos de la muestra anterior.

Dato: $N_A = 6,02 \cdot 10^{23} \text{ mol}^{-1}$

Desintegración radiactivaActividadPeriodo de semidesintegración

i) Determinación de la constante de desintegración.

El periodo de semidesintegración ( $T_{1/2}$ ) está relacionado con la constante de desintegración ( $\lambda$ ) mediante la siguiente expresión:

T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}

Primero, convertimos el periodo de semidesintegración a segundos:

T_{1/2} = 24200 \text{ años} \times \frac{365,25 \text{ días}}{1 \text{ año}} \times \frac{24 \text{ h}}{1 \text{ día}} \times \frac{3600 \text{ s}}{1 \text{ h}} = 7,632 \times 10^{11} \text{ s}

Ahora, podemos calcular la constante de desintegración:

\lambda = \frac{\ln(2)}{T_{1/2}} = \frac{0,693}{7,632 \times 10^{11} \text{ s}} = 9,08 \times 10^{-13} \text{ s}^{-1}

ii) Determinación de la actividad de una muestra de

1 \text{ mg}

de plutonio-239.

La actividad ( $A$ ) de una muestra se define como el producto de la constante de desintegración ( $\lambda$ ) por el número de núcleos ( $N$ ) presentes en la muestra:

A = \lambda N

Primero, calculamos el número de núcleos en $1 \text{ mg}$ de plutonio-239. La masa molar del plutonio-239 es aproximadamente $239,05 \text{ g/mol}$ .Convertimos la masa de la muestra a gramos:

m_{\text{muestra}} = 1 \text{ mg} = 1 \times 10^{-3} \text{ g}

Calculamos el número de moles en la muestra:

n = \frac{m_{\text{muestra}}}{M_{\text{Pu}}} = \frac{1 \times 10^{-3} \text{ g}}{239,05 \text{ g/mol}} = 4,183 \times 10^{-6} \text{ mol}

Ahora, calculamos el número de núcleos ( $N$ ) utilizando el número de Avogadro ( $N_A$ ):

N = n \times N_A = 4,183 \times 10^{-6} \text{ mol} \times 6,02 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1} = 2,518 \times 10^{18} \text{ núcleos}

Finalmente, calculamos la actividad:

A = (9,08 \times 10^{-13} \text{ s}^{-1}) \times (2,518 \times 10^{18}) = 2,285 \times 10^6 \text{ Bq}

iii) Determinación del tiempo necesario para que quede el

25\%

de los núcleos de la muestra anterior.

La ley de desintegración radiactiva viene dada por:

N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}

Queremos encontrar el tiempo ( $t$ ) cuando $N(t) = 0,25 N_0$ :

0,25 N_0 = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}

Simplificando la expresión:

0,25 = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}

Como $0,25 = \frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^2$ , podemos igualar los exponentes:

\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}

2 = \frac{t}{T_{1/2}}

Despejando $t$ :

t = 2 \times T_{1/2}

Sustituimos el valor del periodo de semidesintegración:

t = 2 \times 24200 \text{ años} = 48400 \text{ años}