T2: Interacción electromagnética

Movimiento de partículas cargadas

Problema

2022 · Extraordinaria · Titular

B1-b

Un protón que parte del reposo es acelerado mediante una diferencia de potencial de $1,5 \cdot 10^4 \text{ V}$ . Posteriormente, penetra perpendicularmente en un campo magnético uniforme de $12 \text{ T}$ .

b) Determine razonadamente: i) el radio de curvatura de la trayectoria que describe el protón y ii) el periodo de revolución.

Datos: $m_p = 1,7 \cdot 10^{-27} \text{ kg}; e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}$

aceleración de partículasradio de curvaturaperiodo

b) Para determinar el radio de curvatura y el periodo de revolución del protón, primero calculamos la velocidad que adquiere al ser acelerado por la diferencia de potencial.

La energía cinética adquirida por el protón es igual al trabajo realizado por el campo eléctrico:

\Delta E_k = e \Delta V

Como el protón parte del reposo, su energía cinética inicial es cero. Por lo tanto:

\frac{1}{2} m_p v^2 = e \Delta V

Despejamos la velocidad $v$ :

v = \sqrt{\frac{2 e \Delta V}{m_p}}

Sustituyendo los valores dados:

v = \sqrt{\frac{2 \cdot (1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}) \cdot (1,5 \cdot 10^4 \text{ V})}{1,7 \cdot 10^{-27} \text{ kg}}} = \sqrt{\frac{4,8 \cdot 10^{-15}}{1,7 \cdot 10^{-27}}} \text{ m/s}

v \approx 1,680 \cdot 10^6 \text{ m/s}

i) El radio de curvatura de la trayectoria.

Cuando el protón entra perpendicularmente en un campo magnético uniforme, la fuerza magnética (Fuerza de Lorentz) actúa como fuerza centrípeta, lo que provoca que el protón describa una trayectoria circular. La fuerza de Lorentz viene dada por:

\vec{F}_B = q (\vec{v} \times \vec{B})

Dado que $\vec{v}$ y $\vec{B}$ son perpendiculares ( $\theta = 90^\circ$ ), la magnitud de la fuerza magnética es $F_B = e v B$ . Esta fuerza es igual a la fuerza centrípeta $F_c = \frac{m_p v^2}{R}$ :

e v B = \frac{m_p v^2}{R}

Despejamos el radio $R$ :

R = \frac{m_p v}{e B}

Sustituyendo los valores:

R = \frac{(1,7 \cdot 10^{-27} \text{ kg}) \cdot (1,680 \cdot 10^6 \text{ m/s})}{(1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}) \cdot (12 \text{ T})}

R = \frac{2,856 \cdot 10^{-21}}{1,92 \cdot 10^{-18}} \text{ m}

R \approx 1,49 \cdot 10^{-3} \text{ m}

ii) El periodo de revolución.

El periodo de revolución $T$ es el tiempo que tarda el protón en completar una órbita circular. Se calcula como la longitud de la circunferencia dividida por la velocidad:

T = \frac{2 \pi R}{v}

Sustituyendo los valores de $R$ y $v$ :

T = \frac{2 \pi (1,49 \cdot 10^{-3} \text{ m})}{1,680 \cdot 10^6 \text{ m/s}}

T \approx 5,56 \cdot 10^{-9} \text{ s}