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T5: Integrales
Integral definida
Problema
2021 · Extraordinaria · Reserva
4
Examen

Calcula

∫13∣x2−3x+2∣dx\int_{1}^{3} |x^2 - 3x + 2| dx
Valor absolutoPolinomiosIntegral definida
Cálculo de la integral definida con valor absoluto

Para resolver la integral ∫13∣x2−3x+2∣dx\int_{1}^{3} |x^2 - 3x + 2| dx, primero necesitamos analizar el signo de la función f(x)=x2−3x+2f(x) = x^2 - 3x + 2 dentro del intervalo de integración [1,3][1, 3].Encontramos las raíces de la ecuación x2−3x+2=0x^2 - 3x + 2 = 0:

x=−(−3)±(−3)2−4(1)(2)2(1)x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)}
x=3±9−82x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}
x=3±12x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2}
x1=3−12=1x_1 = \frac{3 - 1}{2} = 1
x2=3+12=2x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2

Las raíces son x=1x=1 y x=2x=2. Estas raíces dividen el intervalo de integración. Analizamos el signo de f(x)f(x) en los subintervalos:1. Para x∈[1,2]x \in [1, 2]: Tomamos un punto de prueba, por ejemplo x=1.5x=1.5. f(1.5)=(1.5)2−3(1.5)+2=2.25−4.5+2=−0.25<0f(1.5) = (1.5)^2 - 3(1.5) + 2 = 2.25 - 4.5 + 2 = -0.25 < 0. Por lo tanto, en este intervalo, ∣x2−3x+2∣=−(x2−3x+2)|x^2 - 3x + 2| = -(x^2 - 3x + 2).2. Para x∈[2,3]x \in [2, 3]: Tomamos un punto de prueba, por ejemplo x=2.5x=2.5. f(2.5)=(2.5)2−3(2.5)+2=6.25−7.5+2=0.75>0f(2.5) = (2.5)^2 - 3(2.5) + 2 = 6.25 - 7.5 + 2 = 0.75 > 0. Por lo tanto, en este intervalo, ∣x2−3x+2∣=x2−3x+2|x^2 - 3x + 2| = x^2 - 3x + 2.Ahora podemos dividir la integral en dos partes:

∫13∣x2−3x+2∣dx=∫12−(x2−3x+2)dx+∫23(x2−3x+2)dx\int_{1}^{3} |x^2 - 3x + 2| dx = \int_{1}^{2} -(x^2 - 3x + 2) dx + \int_{2}^{3} (x^2 - 3x + 2) dx

Primero, calculamos la integral indefinida de x2−3x+2x^2 - 3x + 2:

∫(x2−3x+2)dx=x33−3x22+2x\int (x^2 - 3x + 2) dx = \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x

Ahora evaluamos la primera parte de la integral:

∫12−(x2−3x+2)dx=[−(x33−3x22+2x)]12\int_{1}^{2} -(x^2 - 3x + 2) dx = \left[ -\left(\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x\right) \right]_{1}^{2}
=(−233+3(22)2−2(2))−(−133+3(12)2−2(1))= \left( -\frac{2^3}{3} + \frac{3(2^2)}{2} - 2(2) \right) - \left( -\frac{1^3}{3} + \frac{3(1^2)}{2} - 2(1) \right)
=(−83+122−4)−(−13+32−2)= \left( -\frac{8}{3} + \frac{12}{2} - 4 \right) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{3}{2} - 2 \right)
=(−83+6−4)−(−26+96−126)= \left( -\frac{8}{3} + 6 - 4 \right) - \left( -\frac{2}{6} + \frac{9}{6} - \frac{12}{6} \right)
=(−83+2)−(−56)= \left( -\frac{8}{3} + 2 \right) - \left( -\frac{5}{6} \right)
=−8+63+56=−23+56=−4+56=16= \frac{-8+6}{3} + \frac{5}{6} = -\frac{2}{3} + \frac{5}{6} = \frac{-4+5}{6} = \frac{1}{6}

Ahora evaluamos la segunda parte de la integral:

∫23(x2−3x+2)dx=[x33−3x22+2x]23\int_{2}^{3} (x^2 - 3x + 2) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x \right]_{2}^{3}
=(333−3(32)2+2(3))−(233−3(22)2+2(2))= \left( \frac{3^3}{3} - \frac{3(3^2)}{2} + 2(3) \right) - \left( \frac{2^3}{3} - \frac{3(2^2)}{2} + 2(2) \right)
=(273−272+6)−(83−122+4)= \left( \frac{27}{3} - \frac{27}{2} + 6 \right) - \left( \frac{8}{3} - \frac{12}{2} + 4 \right)
=(9−272+6)−(83−6+4)= \left( 9 - \frac{27}{2} + 6 \right) - \left( \frac{8}{3} - 6 + 4 \right)
=(15−272)−(83−2)= \left( 15 - \frac{27}{2} \right) - \left( \frac{8}{3} - 2 \right)
=(30−272)−(8−63)= \left( \frac{30-27}{2} \right) - \left( \frac{8-6}{3} \right)
=32−23=9−46=56= \frac{3}{2} - \frac{2}{3} = \frac{9-4}{6} = \frac{5}{6}

Finalmente, sumamos los resultados de ambas partes:

∫13∣x2−3x+2∣dx=16+56=66=1\int_{1}^{3} |x^2 - 3x + 2| dx = \frac{1}{6} + \frac{5}{6} = \frac{6}{6} = 1