T6: Teoría de muestras · Distribución de la media muestral — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andaluc%C3%ADa 2025

Distribución de la media muestral

Problema

2025 · Extraordinaria · Titular

BLOQUE D - EJERCICIO 7

El tiempo de adaptación a la guardería, en días, de los menores de dos años andaluces, sigue una distribución Normal de media $10.5$ días y desviación típica $1.5$ días.

a) Se toma una muestra aleatoria de

25

menores de estas características. ¿Qué distribución sigue la media muestral del tiempo de adaptación? ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de adaptación de esta muestra supere los

10

días?b) ¿Qué porcentaje de muestras de tamaño

25

nos proporcionará un tiempo medio de adaptación entre

8

11

días?

Distribución NormalMedia muestralProbabilidad

La variable aleatoria $X$ que representa el tiempo de adaptación a la guardería sigue una distribución Normal con media $\mu = 10.5$ días y desviación típica $\sigma = 1.5$ días. Es decir, $X \sim N(10.5, 1.5)$ .

a) Se toma una muestra aleatoria de

n=25

menores.

La media muestral $\bar{X}$ del tiempo de adaptación sigue una distribución Normal, ya que la población es Normal. Su media es $\mu_{\bar{X}} = \mu = 10.5$ y su desviación típica es $\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ .

\sigma_{\bar{X}} = \frac{1.5}{\sqrt{25}} = \frac{1.5}{5} = 0.3

Por lo tanto, la media muestral $\bar{X}$ sigue una distribución $N(10.5, 0.3)$ .Para calcular la probabilidad de que el tiempo medio de adaptación de esta muestra supere los $10$ días, estandarizamos la variable $\bar{X}$ :

P(\bar{X} > 10) = P\left(Z > \frac{10 - 10.5}{0.3}\right)

P(Z > -1.67)

Usando las propiedades de la distribución Normal estándar, tenemos:

P(Z > -1.67) = 1 - P(Z \le -1.67) = 1 - (1 - P(Z \le 1.67)) = P(Z \le 1.67)

Buscando en la tabla de la distribución Normal estándar, $P(Z \le 1.67) \approx 0.9525$ .

P(\bar{X} > 10) \approx 0.9525

La probabilidad de que el tiempo medio de adaptación de esta muestra supere los $10$ días es aproximadamente $0.9525$ .

b) Queremos calcular el porcentaje de muestras de tamaño

25

que proporcionará un tiempo medio de adaptación entre

8

11

días, es decir,

P(8 < \bar{X} < 11)

Estandarizamos los valores de $\bar{X}$ :

Z_1 = \frac{8 - 10.5}{0.3} = \frac{-2.5}{0.3} \approx -8.33

Z_2 = \frac{11 - 10.5}{0.3} = \frac{0.5}{0.3} \approx 1.67

Entonces, la probabilidad es:

P(8 < \bar{X} < 11) = P(-8.33 < Z < 1.67)

P(-8.33 < Z < 1.67) = P(Z < 1.67) - P(Z < -8.33)

Como $Z = -8.33$ es un valor muy extremo, $P(Z < -8.33)$ es prácticamente $0$ .

P(Z < 1.67) - P(Z < -8.33) \approx 0.9525 - 0 = 0.9525

El porcentaje de muestras de tamaño $25$ que proporcionará un tiempo medio de adaptación entre $8$ y $11$ días es del $95.25\%$ . Este valor se obtiene multiplicando la probabilidad por $100$ .