T1: Interacción gravitatoria · Velocidad de escape — FISICA PEvAU Andaluc%C3%ADa 2017

Velocidad de escape

Problema

2017 · Ordinaria · Suplente

1B-b

b) La masa del planeta Júpiter es, aproximadamente, 300 veces la de la Tierra y su diámetro 10 veces mayor que el terrestre. Calcule razonadamente la velocidad de escape de un cuerpo desde la superficie de Júpiter.

Datos: $R_T = 6,37 \cdot 10^6 \text{ m}$ ; $g = 9,8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}$

velocidad de escapegravedad superficial

b) Velocidad de escape desde la superficie de Júpiter

La velocidad de escape desde la superficie de un planeta se obtiene igualando la energía cinética del cuerpo con la energía potencial gravitatoria necesaria para escapar al infinito:

v_{esc} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}

Conocemos que $g = \dfrac{GM_T}{R_T^2}$ , por lo que $GM_T = g \cdot R_T^2$ . Entonces, para la Tierra:

v_{esc,T} = \sqrt{\frac{2GM_T}{R_T}} = \sqrt{2 \cdot g \cdot R_T}

Para Júpiter, con $M_J = 300\, M_T$ y $R_J = 10\, R_T$ :

v_{esc,J} = \sqrt{\frac{2GM_J}{R_J}} = \sqrt{\frac{2G \cdot 300\,M_T}{10\,R_T}} = \sqrt{30 \cdot \frac{2GM_T}{R_T}} = \sqrt{30} \cdot v_{esc,T}

Calculamos primero la velocidad de escape terrestre con los datos proporcionados:

v_{esc,T} = \sqrt{2 \cdot g \cdot R_T} = \sqrt{2 \times 9{,}8 \times 6{,}37 \times 10^6}

v_{esc,T} = \sqrt{1{,}248 \times 10^8} \approx 1{,}117 \times 10^4 \text{ m/s}

Ahora obtenemos la velocidad de escape de Júpiter:

v_{esc,J} = \sqrt{30} \times 1{,}117 \times 10^4 = 5{,}477 \times 1{,}117 \times 10^4

v_{esc,J} \approx 6{,}12 \times 10^4 \text{ m/s} \approx 61{,}2 \text{ km/s}

La velocidad de escape desde la superficie de Júpiter es aproximadamente $6{,}12 \times 10^4 \text{ m/s}$ , unas 5,5 veces mayor que la terrestre, lo cual tiene sentido dado que Júpiter es mucho más masivo aunque también mucho más grande.