T2: Interacción electromagnética

Campo eléctrico

Teoría

2021 · Extraordinaria · Titular

B1-a

a) Dos partículas idénticas con carga

q

y masa

m

se encuentran separadas por una distancia

d

. A continuación, se mantiene fija una de las partículas y se deja que la otra se aleje hasta duplicar la distancia inicial con la primera.i) Determine el módulo de la velocidad que adquiere la partícula en el punto final.ii) Determine cómo cambiaría el módulo de la velocidad obtenida en el apartado anterior si se duplica el valor de las cargas.

Energía potencial eléctricaCarga eléctricaProporcionalidad

a) i) Para determinar el módulo de la velocidad que adquiere la partícula en el punto final, aplicamos el Principio de Conservación de la Energía Mecánica, ya que la fuerza electrostática es conservativa y no hay otras fuerzas realizando trabajo.

La energía mecánica inicial ( $E_1$ ) es la suma de la energía cinética inicial ( $K_1$ ) y la energía potencial inicial ( $U_1$ ). La partícula móvil parte del reposo, por lo que $K_1 = 0$ . La energía potencial eléctrica entre dos cargas $q_1$ y $q_2$ separadas una distancia $r$ viene dada por $U = k_e \frac{q_1 q_2}{r}$ .

E_1 = K_1 + U_1 = 0 + k_e \frac{q^2}{d} = k_e \frac{q^2}{d}

La energía mecánica final ( $E_2$ ) es la suma de la energía cinética final ( $K_2$ ) y la energía potencial final ( $U_2$ ). La distancia final es $2d$ y la partícula adquiere una velocidad $v$ .

E_2 = K_2 + U_2 = \frac{1}{2}mv^2 + k_e \frac{q^2}{2d}

Aplicando el Principio de Conservación de la Energía Mecánica ( $E_1 = E_2$ ):

k_e \frac{q^2}{d} = \frac{1}{2}mv^2 + k_e \frac{q^2}{2d}

Despejamos $\frac{1}{2}mv^2$ :

\frac{1}{2}mv^2 = k_e \frac{q^2}{d} - k_e \frac{q^2}{2d} = k_e q^2 \left( \frac{1}{d} - \frac{1}{2d} \right) = k_e q^2 \left( \frac{2-1}{2d} \right) = k_e \frac{q^2}{2d}

Ahora, despejamos la velocidad $v$ :

mv^2 = k_e \frac{q^2}{d}

v^2 = \frac{k_e q^2}{md}

v = \sqrt{\frac{k_e q^2}{md}}

ii) Si se duplica el valor de las cargas, las nuevas cargas serán

q' = 2q

. Calculamos la nueva velocidad

v'

aplicando nuevamente el Principio de Conservación de la Energía Mecánica.

La nueva energía potencial inicial ( $U'_1$ ) y final ( $U'_2$ ) son:

U'_1 = k_e \frac{(2q)(2q)}{d} = k_e \frac{4q^2}{d}

U'_2 = k_e \frac{(2q)(2q)}{2d} = k_e \frac{4q^2}{2d} = k_e \frac{2q^2}{d}

La conservación de la energía mecánica es:

E'_1 = E'_2 \Rightarrow K'_1 + U'_1 = K'_2 + U'_2

0 + k_e \frac{4q^2}{d} = \frac{1}{2}mv'^2 + k_e \frac{2q^2}{d}

Despejamos $\frac{1}{2}mv'^2$ :

\frac{1}{2}mv'^2 = k_e \frac{4q^2}{d} - k_e \frac{2q^2}{d} = k_e \frac{2q^2}{d}

Ahora, despejamos la nueva velocidad $v'$ :

mv'^2 = k_e \frac{4q^2}{d}

v'^2 = \frac{k_e 4q^2}{md}

v' = \sqrt{\frac{k_e 4q^2}{md}} = \sqrt{4 \left( \frac{k_e q^2}{md} \right)} = 2 \sqrt{\frac{k_e q^2}{md}}

Comparando con el resultado del apartado i), $v = \sqrt{\frac{k_e q^2}{md}}$ , observamos que:

v' = 2v

Por lo tanto, si se duplica el valor de las cargas, el módulo de la velocidad que adquiere la partícula en el punto final se duplicaría.