T5: Probabilidad · Teorema de la probabilidad total y de Bayes — MATEMATICA APLICADAS A LAS CIENCIA SOCIALES II PEvAU Andaluc%C3%ADa 2025

Teorema de la probabilidad total y de Bayes

Problema

2025 · Extraordinaria · Titular

BLOQUE C - EJERCICIO 5

Los alumnos de un colegio de una localidad andaluza van a realizar una excursión a la estación de esquí de Sierra Nevada desplazándose en tres autobuses A, B y C. En el autobús A se desplazan cuatro novenos de los alumnos de la excursión, en el B se desplaza la tercera parte y el resto van en el autobús C. Se sabe que el $65\%$ de los alumnos que viajan en el autobús A y el $40\%$ de los del autobús B no sabe esquiar y todos los del autobús C sí que saben esquiar. Se escoge al azar a uno de los alumnos de la excursión. Calcule la probabilidad de que:

a) Sepa esquiar.b) Viaje en el autobús C, si sabe esquiar.c) Sepa esquiar y no viaje en el autobús B.

Teorema de BayesProbabilidad totalDiagrama de árbol

Definimos los siguientes sucesos: $A$ : El alumno viaja en el autobús A. $B$ : El alumno viaja en el autobús B. $C$ : El alumno viaja en el autobús C. $E$ : El alumno sabe esquiar.Las probabilidades de viajar en cada autobús son:

P(A) = \frac{4}{9}

P(B) = \frac{1}{3} = \frac{3}{9}

P(C) = 1 - P(A) - P(B) = 1 - \frac{4}{9} - \frac{3}{9} = 1 - \frac{7}{9} = \frac{2}{9}

Las probabilidades de no saber esquiar o saber esquiar, condicionales al autobús, son:

P(\bar{E}|A) = 0.65 \implies P(E|A) = 1 - 0.65 = 0.35

P(\bar{E}|B) = 0.40 \implies P(E|B) = 1 - 0.40 = 0.60

P(E|C) = 1

a) Sepa esquiar.

Para calcular la probabilidad de que un alumno escogido al azar sepa esquiar, aplicamos el Teorema de la Probabilidad Total:

P(E) = P(E|A)P(A) + P(E|B)P(B) + P(E|C)P(C)

P(E) = (0.35)\left(\frac{4}{9}\right) + (0.60)\left(\frac{1}{3}\right) + (1)\left(\frac{2}{9}\right)

P(E) = \frac{1.4}{9} + \frac{0.60 \cdot 3}{9} + \frac{2}{9}

P(E) = \frac{1.4}{9} + \frac{1.8}{9} + \frac{2}{9}

P(E) = \frac{1.4 + 1.8 + 2}{9} = \frac{5.2}{9}

P(E) = \frac{52}{90} = \frac{26}{45} \approx 0.5778

b) Viaje en el autobús C, si sabe esquiar.

Aplicamos el Teorema de Bayes para calcular $P(C|E)$ :

P(C|E) = \frac{P(E|C)P(C)}{P(E)}

Sustituimos los valores calculados en el apartado a):

P(C|E) = \frac{(1)\left(\frac{2}{9}\right)}{\frac{5.2}{9}}

P(C|E) = \frac{2}{5.2} = \frac{20}{52} = \frac{5}{13} \approx 0.3846

c) Sepa esquiar y no viaje en el autobús B.

Se nos pide calcular la probabilidad $P(E \cap \bar{B})$ . Podemos expresar este suceso como la unión de dos sucesos mutuamente excluyentes: el alumno sabe esquiar y viaja en el autobús A ( $E \cap A$ ), o el alumno sabe esquiar y viaja en el autobús C ( $E \cap C$ ). Es decir, $E \cap \bar{B} = (E \cap A) \cup (E \cap C)$ .

P(E \cap \bar{B}) = P(E \cap A) + P(E \cap C)

Calculamos cada término:

P(E \cap A) = P(E|A)P(A) = (0.35)\left(\frac{4}{9}\right) = \frac{1.4}{9}

P(E \cap C) = P(E|C)P(C) = (1)\left(\frac{2}{9}\right) = \frac{2}{9}

Sumando ambas probabilidades:

P(E \cap \bar{B}) = \frac{1.4}{9} + \frac{2}{9} = \frac{3.4}{9}

P(E \cap \bar{B}) = \frac{34}{90} = \frac{17}{45} \approx 0.3778

Alternativamente, también se puede calcular como $P(E \cap \bar{B}) = P(E) - P(E \cap B)$ .

P(E \cap B) = P(E|B)P(B) = (0.60)\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{0.60}{3} = 0.20

P(E \cap B) = \frac{0.60 \cdot 3}{9} = \frac{1.8}{9}

P(E \cap \bar{B}) = P(E) - P(E \cap B) = \frac{5.2}{9} - \frac{1.8}{9} = \frac{3.4}{9} = \frac{17}{45}