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T1: Matrices y determinantes
Álgebra de matrices
Problema
2023 · Ordinaria · Reserva
1
Examen
BLOQUE A
a) Un agricultor vende la producción de tres tipos de uva, Tempranillo, Garnacha y Macabeo, de dos de sus fincas. La matriz Q=(50403506055)Q = \begin{pmatrix} 50 & 40 & 35 \\ 0 & 60 & 55 \end{pmatrix} recoge la producción, en miles de kilogramos, de estos tipos de uva en cada finca. El precio de venta por kilogramo, en céntimos de euro, según el tipo de uva y la finca, viene dado por la matriz P=(403842343740)P = \begin{pmatrix} 40 & 38 & 42 \\ 34 & 37 & 40 \end{pmatrix}.

Calcule el producto Q⋅PtQ \cdot P^t y explique el significado económico de los elementos de la diagonal principal del resultado. Indique también la cantidad total de dinero que ha obtenido el agricultor por la venta de la cosecha de las dos fincas.

b) Dada la siguiente ecuación matricial M⋅X+N=VM \cdot X + N = V:b1) Suponiendo que MM sea invertible, despeje la matriz XX en la ecuación anterior.b2) Para M=(1011)M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, N=(5432)N = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} y V=(8765)V = \begin{pmatrix} 8 & 7 \\ 6 & 5 \end{pmatrix}, calcule la matriz XX.
MatricesEcuación matricialDiagonal principal
a) Calcule el producto Q⋅PtQ \cdot P^t y explique el significado económico de los elementos de la diagonal principal del resultado. Indique también la cantidad total de dinero que ha obtenido el agricultor por la venta de la cosecha de las dos fincas.

Dadas las matrices de producción QQ y de precios PP:

Q=(50403506055)Q = \begin{pmatrix} 50 & 40 & 35 \\ 0 & 60 & 55 \end{pmatrix}
P=(403842343740)P = \begin{pmatrix} 40 & 38 & 42 \\ 34 & 37 & 40 \end{pmatrix}

Primero calculamos la transpuesta de PP, PtP^t:

Pt=(403438374240)P^t = \begin{pmatrix} 40 & 34 \\ 38 & 37 \\ 42 & 40 \end{pmatrix}

Ahora realizamos el producto Q⋅PtQ \cdot P^t:

Q⋅Pt=(50403506055)⋅(403438374240)Q \cdot P^t = \begin{pmatrix} 50 & 40 & 35 \\ 0 & 60 & 55 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 40 & 34 \\ 38 & 37 \\ 42 & 40 \end{pmatrix}
Q⋅Pt=((50⋅40+40⋅38+35⋅42)(50⋅34+40⋅37+35⋅40)(0⋅40+60⋅38+55⋅42)(0⋅34+60⋅37+55⋅40))Q \cdot P^t = \begin{pmatrix} (50 \cdot 40 + 40 \cdot 38 + 35 \cdot 42) & (50 \cdot 34 + 40 \cdot 37 + 35 \cdot 40) \\ (0 \cdot 40 + 60 \cdot 38 + 55 \cdot 42) & (0 \cdot 34 + 60 \cdot 37 + 55 \cdot 40) \end{pmatrix}
Q⋅Pt=((2000+1520+1470)(1700+1480+1400)(0+2280+2310)(0+2220+2200))Q \cdot P^t = \begin{pmatrix} (2000 + 1520 + 1470) & (1700 + 1480 + 1400) \\ (0 + 2280 + 2310) & (0 + 2220 + 2200) \end{pmatrix}
Q⋅Pt=(4990458045904420)Q \cdot P^t = \begin{pmatrix} 4990 & 4580 \\ 4590 & 4420 \end{pmatrix}

El significado económico de los elementos de la diagonal principal es el siguiente:* El elemento C11=4990C_{11} = 4990 representa el ingreso total (en céntimos de euro) de la Finca 1, obtenido al vender su propia producción (Tempranillo, Garnacha y Macabeo) a los precios correspondientes a la Finca 1.* El elemento C22=4420C_{22} = 4420 representa el ingreso total (en céntimos de euro) de la Finca 2, obtenido al vender su propia producción a los precios correspondientes a la Finca 2.La cantidad total de dinero que ha obtenido el agricultor por la venta de la cosecha de las dos fincas es la suma de los ingresos de cada finca con sus respectivos precios:

Total de dinero=C11+C22=4990+4420=9410 ceˊntimos de euro\text{Total de dinero} = C_{11} + C_{22} = 4990 + 4420 = 9410 \text{ céntimos de euro}

Esto equivale a 94,1094,10 euros.

b) Dada la siguiente ecuación matricial M⋅X+N=VM \cdot X + N = V:b1) Suponiendo que MM sea invertible, despeje la matriz XX en la ecuación anterior.

Dada la ecuación matricial M⋅X+N=VM \cdot X + N = V:

M⋅X+N=VM \cdot X + N = V

Restamos la matriz NN en ambos lados de la ecuación:

M⋅X=V−NM \cdot X = V - N

Como MM es invertible, multiplicamos por la inversa de MM (M−1M^{-1}) por la izquierda en ambos lados:

M−1⋅(M⋅X)=M−1⋅(V−N)M^{-1} \cdot (M \cdot X) = M^{-1} \cdot (V - N)

Sabiendo que M−1⋅M=IM^{-1} \cdot M = I (matriz identidad), la ecuación queda:

I⋅X=M−1⋅(V−N)I \cdot X = M^{-1} \cdot (V - N)

Por lo tanto, la matriz XX es:

X=M−1⋅(V−N)X = M^{-1} \cdot (V - N)
b2) Para M=(1011)M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, N=(5432)N = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} y V=(8765)V = \begin{pmatrix} 8 & 7 \\ 6 & 5 \end{pmatrix}, calcule la matriz XX.

Primero calculamos la inversa de MM, M−1M^{-1}.

M=(1011)M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

El determinante de MM es det(M)=(1⋅1)−(0⋅1)=1det(M) = (1 \cdot 1) - (0 \cdot 1) = 1. Como det(M)≠0det(M) \neq 0, MM es invertible.La inversa de una matriz 2×22 \times 2, (abcd)\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, es 1ad−bc(d−b−ca)\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}.

M−1=11(10−11)=(10−11)M^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}

Ahora calculamos la diferencia V−NV - N:

V−N=(8765)−(5432)=(8−57−46−35−2)=(3333)V - N = \begin{pmatrix} 8 & 7 \\ 6 & 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8-5 & 7-4 \\ 6-3 & 5-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}

Finalmente, calculamos X=M−1⋅(V−N)X = M^{-1} \cdot (V - N):

X=(10−11)⋅(3333)X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}
X=((1⋅3+0⋅3)(1⋅3+0⋅3)(−1⋅3+1⋅3)(−1⋅3+1⋅3))X = \begin{pmatrix} (1 \cdot 3 + 0 \cdot 3) & (1 \cdot 3 + 0 \cdot 3) \\ (-1 \cdot 3 + 1 \cdot 3) & (-1 \cdot 3 + 1 \cdot 3) \end{pmatrix}
X=((3+0)(3+0)(−3+3)(−3+3))X = \begin{pmatrix} (3 + 0) & (3 + 0) \\ (-3 + 3) & (-3 + 3) \end{pmatrix}
X=(3300)X = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}