T6: Teoría de muestras · Distribución de la media muestral — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andaluc%C3%ADa 2023

Distribución de la media muestral

Problema

2023 · Extraordinaria · Reserva

El tiempo de adaptación al uso de unas gafas progresivas depende de la persona, de la graduación de las lentes y del tipo de progresivo elegido. No obstante, se sabe que el tiempo de adaptación sigue una ley Normal de media $12.5$ días y desviación típica $2.5$ días.

a) Si se toma una muestra aleatoria de 16 individuos que han comenzado a utilizar este tipo de gafas, ¿qué distribución sigue la media muestral del tiempo de adaptación? ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de adaptación a las gafas progresivas para dicha muestra supere los 12 días?b) Si la muestra elegida es de tamaño 25 ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio muestral de adaptación a las gafas progresivas diste de 12 días a lo sumo 1 día?

Distribución de la media muestralProbabilidad NormalTeorema Central del Límite

Sea $X$ la variable aleatoria que representa el tiempo de adaptación al uso de gafas progresivas. Se sabe que $X$ sigue una distribución Normal con media $\mu = 12.5$ días y desviación típica $\sigma = 2.5$ días. Es decir, $X \sim N(12.5, 2.5)$ .

a) Si se toma una muestra aleatoria de 16 individuos (

n=16

), la distribución de la media muestral

\bar{X}

sigue una distribución Normal, con media

\mu_{\bar{X}} = \mu

y desviación típica

\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

\mu_{\bar{X}} = 12.5

\sigma_{\bar{X}} = \frac{2.5}{\sqrt{16}} = \frac{2.5}{4} = 0.625

Por lo tanto, la media muestral sigue una distribución $N(12.5, 0.625)$ .Para calcular la probabilidad de que el tiempo medio de adaptación supere los 12 días, calculamos $P(\bar{X} > 12)$ . Tipificamos la variable $\bar{X}$ usando la fórmula $Z = \frac{\bar{X} - \mu_{\bar{X}}}{\sigma_{\bar{X}}}$ .

P(\bar{X} > 12) = P\left(Z > \frac{12 - 12.5}{0.625}\right)

P\left(Z > \frac{-0.5}{0.625}\right) = P(Z > -0.8)

Utilizando la simetría de la distribución Normal, $P(Z > -0.8) = P(Z < 0.8)$ . Buscamos este valor en la tabla de la Normal estándar o con una calculadora.

P(Z < 0.8) \approx 0.7881

La probabilidad de que el tiempo medio de adaptación a las gafas progresivas para dicha muestra supere los 12 días es aproximadamente $0.7881$ .

b) Si la muestra elegida es de tamaño 25 (

n=25

), la distribución de la media muestral

\bar{X}

sigue una distribución Normal con:

\mu_{\bar{X}} = 12.5

\sigma_{\bar{X}} = \frac{2.5}{\sqrt{25}} = \frac{2.5}{5} = 0.5

Así, $\bar{X} \sim N(12.5, 0.5)$ . Queremos calcular la probabilidad de que el tiempo medio muestral de adaptación diste de 12 días a lo sumo 1 día. Esto se expresa como $P(|\bar{X} - 12| \le 1)$ .

P(|\bar{X} - 12| \le 1) = P(-1 \le \bar{X} - 12 \le 1)

P(12 - 1 \le \bar{X} \le 12 + 1) = P(11 \le \bar{X} \le 13)

Ahora tipificamos los valores de $\bar{X}$ :

Z_1 = \frac{11 - 12.5}{0.5} = \frac{-1.5}{0.5} = -3

Z_2 = \frac{13 - 12.5}{0.5} = \frac{0.5}{0.5} = 1

Entonces, la probabilidad es $P(-3 \le Z \le 1)$ . Esto se calcula como $P(Z \le 1) - P(Z \le -3)$ .

P(Z \le 1) \approx 0.8413

P(Z \le -3) = 1 - P(Z \le 3) \approx 1 - 0.9987 = 0.0013

P(-3 \le Z \le 1) \approx 0.8413 - 0.0013 = 0.8400

La probabilidad de que el tiempo medio muestral de adaptación a las gafas progresivas diste de 12 días a lo sumo 1 día es aproximadamente $0.8400$ .