T3: Programación lineal · Problemas de optimización — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andaluc%C3%ADa 2022

Problemas de optimización

Problema

2022 · Ordinaria · Reserva

Una papelería quiere vender 400 cuadernos de vacaciones y 300 estuches de lápices de colores. Para ello ha preparado dos lotes de esos productos a precios especiales. Los lotes de tipo A contienen 2 cuadernos y 2 estuches; los lotes de tipo B contienen 3 cuadernos y 1 estuche. No es posible vender más de 100 lotes de tipo B. Cada lote de tipo A se vende a 35€ y cada lote de tipo B a 45€. Calcule cuántos lotes de cada tipo debe vender la papelería para conseguir el máximo valor de ventas. ¿A cuánto asciende dicho valor?

Programación linealOptimizaciónMaximización de beneficios

Resolución del Problema de Programación Lineal

En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema: $x$ : Número de lotes de tipo A vendidos. $y$ : Número de lotes de tipo B vendidos.

a) Función objetivo y restricciones

El objetivo es maximizar el valor total de las ventas $V(x, y)$ :

V(x, y) = 35x + 45y

Sujeto a las siguientes restricciones basadas en las existencias y las condiciones del mercado:Restricción de cuadernos: $2x + 3y \leq 400$ Restricción de estuches: $2x + y \leq 300$ Restricción de lotes tipo B: $y \leq 100$ Condiciones de no negatividad: $x \geq 0, y \geq 0$

b) Determinación de la región factible y vértices

La región factible está delimitada por los puntos de intersección de las rectas asociadas a las restricciones. Calculamos los vértices del polígono resultante: $V_1(0, 0)$ : Origen de coordenadas. $V_2(0, 100)$ : Intersección de $x=0$ con $y=100$ . $V_3(50, 100)$ : Intersección de $y=100$ con $2x+3y=400$ ( $2x + 300 = 400 \Rightarrow 2x = 100 \Rightarrow x = 50$ ). $V_4(125, 50)$ : Intersección de $2x+3y=400$ con $2x+y=300$ . Restando ambas: $2y = 100 \Rightarrow y = 50$ ; sustituyendo: $2x + 50 = 300 \Rightarrow x = 125$ . $V_5(150, 0)$ : Intersección de $2x+y=300$ con $y=0$ ( $2x = 300 \Rightarrow x = 150$ ).

c) Evaluación de la función objetivo

Evaluamos $V(x, y) = 35x + 45y$ en cada vértice para encontrar el máximo valor: $V(0, 0) = 35(0) + 45(0) = 0\text{ \,\text{euros}}$ $V(0, 100) = 35(0) + 45(100) = 4500\text{ \,\text{euros}}$ $V(50, 100) = 35(50) + 45(100) = 1750 + 4500 = 6250\text{ \,\text{euros}}$ $V(125, 50) = 35(125) + 45(50) = 4375 + 2250 = 6625\text{ \,\text{euros}}$ $V(150, 0) = 35(150) + 45(0) = 5250\text{ \,\text{euros}}$

Para conseguir el máximo valor de ventas, la papelería debe vender 125 lotes de tipo A y 50 lotes de tipo B. El valor máximo de ventas asciende a 6625€.