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T5: Probabilidad
Propiedades de la probabilidad
Problema
2024 · Ordinaria · Reserva
6
Examen
EJERCICIO 6

El 75%75\% de los estudiantes de un centro aprueba la asignatura AA y un 55%55\% aprueba la asignatura BB. Además, un 35%35\% del total de estudiantes aprueba ambas. Elegido un estudiante al azar de este centro, calcule las siguientes probabilidades:

a) No apruebe BB sabiendo que ha aprobado AA.b) Aprueba alguna de estas asignaturas.c) No apruebe ni AA ni BB.d) Haya aprobado AA si se sabe que ha aprobado alguna de estas dos asignaturas.e) Estudie si los sucesos “aprobar AA” y “aprobar BB” son independientes.
Probabilidad de la uniónProbabilidad condicionadaIndependencia de sucesos

Definimos los siguientes sucesos:AA: El estudiante aprueba la asignatura AA.BB: El estudiante aprueba la asignatura BB.Las probabilidades dadas son:

P(A)=0.75P(A) = 0.75
P(B)=0.55P(B) = 0.55
P(A∩B)=0.35P(A \cap B) = 0.35
a) No apruebe BB sabiendo que ha aprobado AA.

Se pide calcular P(Bc∣A)P(B^c | A). Usamos la fórmula de probabilidad condicionada:

P(Bc∣A)=P(Bc∩A)P(A)P(B^c | A) = \frac{P(B^c \cap A)}{P(A)}

Sabemos que P(Bc∩A)=P(A)−P(A∩B)P(B^c \cap A) = P(A) - P(A \cap B). Sustituimos los valores:

P(Bc∣A)=P(A)−P(A∩B)P(A)=0.75−0.350.75=0.400.75=4075=815P(B^c | A) = \frac{P(A) - P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{0.75 - 0.35}{0.75} = \frac{0.40}{0.75} = \frac{40}{75} = \frac{8}{15}
b) Aprueba alguna de estas asignaturas.

Se pide calcular P(A∪B)P(A \cup B). Usamos la fórmula para la unión de sucesos:

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Sustituimos los valores:

P(A∪B)=0.75+0.55−0.35=1.30−0.35=0.95P(A \cup B) = 0.75 + 0.55 - 0.35 = 1.30 - 0.35 = 0.95
c) No apruebe ni AA ni BB.

Se pide calcular P(Ac∩Bc)P(A^c \cap B^c). Por las Leyes de De Morgan, sabemos que P(Ac∩Bc)=P((A∪B)c)P(A^c \cap B^c) = P((A \cup B)^c). Por lo tanto:

P(A^c \cap B^c) = 1 - P(A \cup B)

Sustituimos el valor de P(A∪B)P(A \cup B) calculado en el apartado anterior:

P(A^c \cap B^c) = 1 - 0.95 = 0.05
d) Haya aprobado AA si se sabe que ha aprobado alguna de estas dos asignaturas.

Se pide calcular P(A∣A∪B)P(A | A \cup B). Usamos la fórmula de probabilidad condicionada:

P(A∣A∪B)=P(A∩(A∪B))P(A∪B)P(A | A \cup B) = \frac{P(A \cap (A \cup B))}{P(A \cup B)}

Dado que el suceso AA está contenido en el suceso A∪BA \cup B, la intersección A∩(A∪B)A \cap (A \cup B) es simplemente AA. Así, la expresión se simplifica a:

P(A∣A∪B)=P(A)P(A∪B)P(A | A \cup B) = \frac{P(A)}{P(A \cup B)}

Sustituimos los valores de P(A)P(A) y P(A∪B)P(A \cup B):

P(A∣A∪B)=0.750.95=7595=1519P(A | A \cup B) = \frac{0.75}{0.95} = \frac{75}{95} = \frac{15}{19}
e) Estudie si los sucesos “aprobar AA” y “aprobar BB” son independientes.

Dos sucesos AA y BB son independientes si y solo si P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B). Calculamos el producto de las probabilidades individuales:

P(A)⋅P(B)=0.75⋅0.55=0.4125P(A) \cdot P(B) = 0.75 \cdot 0.55 = 0.4125

Comparamos este valor con la probabilidad de la intersección dada:

P(A∩B)=0.35P(A \cap B) = 0.35

Dado que P(A∩B)≠P(A)⋅P(B)P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B) (0.35≠0.41250.35 \neq 0.4125), los sucesos "aprobar AA" y "aprobar BB" no son independientes.