T3: Programación lineal · Optimización con restricciones — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andaluc%C3%ADa 2022

Optimización con restricciones

Problema

2022 · Ordinaria · Suplente

BLOQUE A

Una fábrica de juguetes educativos produce juegos de ajedrez y dominó. Para fabricar un ajedrez se necesitan $2 \text{ kg}$ de madera y $4 \text{ horas}$ de trabajo, mientras que para fabricar un dominó se necesita $1 \text{ kg}$ de madera y $1 \text{ hora}$ de trabajo. Para que la producción sea rentable hay que hacer al día al menos $3$ juegos y emplear como máximo $7 \text{ kg}$ de madera y $9 \text{ horas}$ de trabajo. Cada ajedrez se vende por $40\text{\,\text{euros}}$ y cada dominó por $15\text{\,\text{euros}}$ . ¿Cuántos juegos de ajedrez y dominó deben fabricarse diariamente para que la ganancia obtenida sea máxima? ¿Cuál será esa ganancia?

Programación linealMaximización de beneficios

Planteamiento del problema de programación lineal

En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema:

x

: número de juegos de ajedrez fabricados diariamente.

y

: número de juegos de dominó fabricados diariamente.

A partir del enunciado, establecemos la función objetivo a maximizar (la ganancia total) y el sistema de restricciones:Función objetivo: $G(x, y) = 40x + 15y$

\begin{cases} 2x + y \le 7 & (\text{Restricción de madera}) \\ 4x + y \le 9 & (\text{Restricción de horas de trabajo}) \\ x + y \ge 3 & (\text{Restricción de producción mínima}) \\ x \ge 0, y \ge 0 & (\text{No negatividad}) \end{cases}

Determinación de la región factible y vértices

Para hallar los vértices de la región factible, resolvemos los sistemas de ecuaciones formados por las rectas que delimitan las restricciones:

Intersección de

2x + y = 7

4x + y = 9

: Restando las ecuaciones obtenemos

2x = 2 \implies x = 1

. Sustituyendo,

y = 7 - 2(1) = 5

. Vértice

A(1, 5)

.Intersección de

4x + y = 9

x + y = 3

: Restando obtenemos

3x = 6 \implies x = 2

. Sustituyendo,

y = 3 - 2 = 1

. Vértice

B(2, 1)

.Intersección con el eje

y

(

x = 0

): De

x + y = 3

obtenemos el vértice

C(0, 3)

. De

2x + y = 7

obtenemos el vértice

D(0, 7)

Evaluación de la función objetivo

Calculamos la ganancia en cada uno de los vértices de la región factible para encontrar el máximo:

G(1, 5) = 40(1) + 15(5) = 40 + 75 = 115 \text{ \,\text{euros}}

G(2, 1) = 40(2) + 15(1) = 80 + 15 = 95 \text{ \,\text{euros}}

G(0, 3) = 40(0) + 15(3) = 45 \text{ \,\text{euros}}

G(0, 7) = 40(0) + 15(7) = 105 \text{ \,\text{euros}}

La ganancia máxima se alcanza en el punto $(1, 5)$ .

Conclusión

Para que la ganancia sea máxima, deben fabricarse diariamente $1$ juego de ajedrez y $5$ juegos de dominó. La ganancia máxima obtenida será de $115 \text{ \,\text{euros}}$ .