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T2: Interacción electromagnética
Partículas en campos
Problema
2020 · Extraordinaria · Suplente
2-b
Examen

Un electrón se mueve a 105 m s−110^5 \text{ m s}^{-1} en el sentido positivo del eje OX, y penetra en una región donde existe un campo magnético uniforme de 1 T1 \text{ T}, dirigido en el sentido negativo del eje OZ.

b) Determine, razonadamente, con la ayuda de un esquema: i) La fuerza magnética que actúa sobre el electrón. ii) El campo eléctrico que hay que aplicar para que el electrón continúe con trayectoria rectilínea.

Dato: e=1,6⋅10−19 Ce = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}

Fuerza de LorentzCampo eléctricoElectrón
b) i) Para determinar la fuerza magnética (F⃗B\vec{F}_B) que actúa sobre el electrón, aplicamos la Ley de la Fuerza de Lorentz. Primero identificamos los vectores velocidad (v⃗\vec{v}) y campo magnético (B⃗\vec{B}). Un electrón tiene carga q=−eq = -e.

Datos:

q=−e=−1,6⋅10−19 Cq = -e = -1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}
v⃗=(105i^) m/s\vec{v} = (10^5 \hat{i}) \text{ m/s}
B⃗=(−1k^) T\vec{B} = (-1 \hat{k}) \text{ T}

La fórmula de la fuerza magnética es:

F⃗B=q(v⃗×B⃗)\vec{F}_B = q (\vec{v} \times \vec{B})

Primero calculamos el producto vectorial (v⃗×B⃗)(\vec{v} \times \vec{B}):

(v⃗×B⃗)=(105i^) m/s×(−1k^) T(\vec{v} \times \vec{B}) = (10^5 \hat{i}) \text{ m/s} \times (-1 \hat{k}) \text{ T}
(v⃗×B⃗)=−105(i^×k^) (m/s) T(\vec{v} \times \vec{B}) = -10^5 (\hat{i} \times \hat{k}) \text{ (m/s) T}

Sabiendo que (i^×k^)=−j^(\hat{i} \times \hat{k}) = -\hat{j}:

(v⃗×B⃗)=−105(−j^) (m/s) T=(105j^) (m/s) T(\vec{v} \times \vec{B}) = -10^5 (-\hat{j}) \text{ (m/s) T} = (10^5 \hat{j}) \text{ (m/s) T}

Ahora, sustituimos en la fórmula de la fuerza magnética:

F⃗B=(−1,6⋅10−19 C)⋅(105j^) (m/s) T\vec{F}_B = (-1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}) \cdot (10^5 \hat{j}) \text{ (m/s) T}
F⃗B=(−1,6⋅10−14j^) N\vec{F}_B = (-1,6 \cdot 10^{-14} \hat{j}) \text{ N}

La fuerza magnética que actúa sobre el electrón está dirigida en el sentido negativo del eje OY.

B (entrante)⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗-vF
b) ii) Para que el electrón continúe con una trayectoria rectilínea, la fuerza neta sobre él debe ser cero. Esto implica que la fuerza eléctrica (F⃗E\vec{F}_E) debe compensar exactamente la fuerza magnética (F⃗B\vec{F}_B). Es decir, F⃗E=−F⃗B\vec{F}_E = -\vec{F}_B.

La fuerza eléctrica sobre una carga qq en un campo eléctrico E⃗\vec{E} es:

F⃗E=qE⃗\vec{F}_E = q \vec{E}

Por lo tanto, igualando las fuerzas:

qE⃗=−F⃗Bq \vec{E} = -\vec{F}_B

Despejamos el campo eléctrico E⃗\vec{E}:

E⃗=−1qF⃗B\vec{E} = -\frac{1}{q} \vec{F}_B

Sustituimos los valores de qq y F⃗B\vec{F}_B:

E⃗=−1−1,6⋅10−19 C(−1,6⋅10−14j^) N\vec{E} = -\frac{1}{-1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}} (-1,6 \cdot 10^{-14} \hat{j}) \text{ N}
E⃗=11,6⋅10−19 C(1,6⋅10−14j^) N\vec{E} = \frac{1}{1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}} (1,6 \cdot 10^{-14} \hat{j}) \text{ N}
E⃗=(1,6⋅10−141,6⋅10−19j^) N/C\vec{E} = (\frac{1,6 \cdot 10^{-14}}{1,6 \cdot 10^{-19}} \hat{j}) \text{ N/C}
E⃗=(105j^) N/C\vec{E} = (10^5 \hat{j}) \text{ N/C}

Por lo tanto, se debe aplicar un campo eléctrico de 105 N/C10^5 \text{ N/C} dirigido en el sentido positivo del eje OY para que el electrón continúe con trayectoria rectilínea.