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T1: Matrices y determinantes
Operaciones con matrices y ecuaciones matriciales
Problema
2022 · Ordinaria · Reserva
1
Examen
BLOQUE A

Se consideran las matrices

A=(101−1−112−10),B=(1−11−1−1−11−11),C=(3−7−2)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}, C = \begin{pmatrix} 3 \\ -7 \\ -2 \end{pmatrix}
a) Razone si se pueden efectuar las siguientes operaciones y realice las que sean posibles: C⋅A,A+B,Ct⋅BtC \cdot A, A + B, C^t \cdot B^t.b) Resuelva la ecuación matricial A⋅X=B⋅X+CA \cdot X = B \cdot X + C.
MatricesEcuación matricialInversa de una matriz
Resolución del ejercicio

Se tienen las matrices:

A=(101−1−112−10),B=(1−11−1−1−11−11),C=(3−7−2)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}, C = \begin{pmatrix} 3 \\ -7 \\ -2 \end{pmatrix}

Las dimensiones de estas matrices son:

dim(A)=3×3dim(B)=3×3dim(C)=3×1\text{dim}(A) = 3 \times 3 \quad \text{dim}(B) = 3 \times 3 \quad \text{dim}(C) = 3 \times 1
a) Razone si se pueden efectuar las siguientes operaciones y realice las que sean posibles: C⋅A,A+B,Ct⋅BtC \cdot A, A + B, C^t \cdot B^t.

Para la operación C⋅AC \cdot A:

dim(C)=3×1dim(A)=3×3\text{dim}(C) = 3 \times 1 \quad \text{dim}(A) = 3 \times 3

El número de columnas de CC (1) no coincide con el número de filas de AA (3). Por lo tanto, la operación C⋅AC \cdot A no se puede efectuar.Para la operación A+BA + B:

dim(A)=3×3dim(B)=3×3\text{dim}(A) = 3 \times 3 \quad \text{dim}(B) = 3 \times 3

Ambas matrices tienen las mismas dimensiones. Por lo tanto, la operación A+BA + B se puede efectuar. El resultado es:

A+B=(101−1−112−10)+(1−11−1−1−11−11)=(1+10−11+1−1−1−1−11−12+1−1−10+1)=(2−12−2−203−21)A + B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+1 & 0-1 & 1+1 \\ -1-1 & -1-1 & 1-1 \\ 2+1 & -1-1 & 0+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \\ -2 & -2 & 0 \\ 3 & -2 & 1 \end{pmatrix}

Para la operación Ct⋅BtC^t \cdot B^t:Primero, calculamos las matrices transpuestas:

Ct=(3−7−2)dim(Ct)=1×3C^t = \begin{pmatrix} 3 & -7 & -2 \end{pmatrix} \quad \text{dim}(C^t) = 1 \times 3
Bt=(1−11−1−1−11−11)t=(1−11−1−1−11−11)dim(Bt)=3×3B^t = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}^t = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{dim}(B^t) = 3 \times 3

El número de columnas de CtC^t (3) coincide con el número de filas de BtB^t (3). Por lo tanto, la operación Ct⋅BtC^t \cdot B^t se puede efectuar. El resultado es:

Ct⋅Bt=(3−7−2)⋅(1−11−1−1−11−11)C^t \cdot B^t = \begin{pmatrix} 3 & -7 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}
=(3(1)+(−7)(−1)+(−2)(1)3(−1)+(−7)(−1)+(−2)(−1)3(1)+(−7)(−1)+(−2)(1))= \begin{pmatrix} 3(1)+(-7)(-1)+(-2)(1) & 3(-1)+(-7)(-1)+(-2)(-1) & 3(1)+(-7)(-1)+(-2)(1) \end{pmatrix}
=(3+7−2−3+7+23+7−2)=(868)= \begin{pmatrix} 3+7-2 & -3+7+2 & 3+7-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 6 & 8 \end{pmatrix}
b) Resuelva la ecuación matricial A⋅X=B⋅X+CA \cdot X = B \cdot X + C.

Reordenamos la ecuación para aislar XX:

A⋅X−B⋅X=CA \cdot X - B \cdot X = C
(A−B)⋅X=C(A - B) \cdot X = C

Sea D=A−BD = A - B. Calculamos DD:

D=(101−1−112−10)−(1−11−1−1−11−11)=(1−10−(−1)1−1−1−(−1)−1−(−1)1−(−1)2−1−1−(−1)0−1)=(01000210−1)D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-1 & 0-(-1) & 1-1 \\ -1-(-1) & -1-(-1) & 1-(-1) \\ 2-1 & -1-(-1) & 0-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}

Ahora, la ecuación es D⋅X=CD \cdot X = C. Para resolverla, necesitamos la inversa de DD, D−1D^{-1}. Primero, calculamos el determinante de DD para verificar si es invertible:

det⁡(D)=0⋅det⁡(020−1)−1⋅det⁡(021−1)+0⋅det⁡(0010)\det(D) = 0 \cdot \det\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} - 1 \cdot \det\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} + 0 \cdot \det\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
det⁡(D)=0−1(0−2)+0=−1(−2)=2\det(D) = 0 - 1(0 - 2) + 0 = -1(-2) = 2

Dado que det⁡(D)=2≠0\det(D) = 2 \neq 0, la matriz DD es invertible.Calculamos la matriz de cofactores de DD:

C11=0C12=−(−2)=2C13=0C_{11} = 0 \quad C_{12} = -(-2) = 2 \quad C_{13} = 0
C21=−(−1)=1C22=0C23=−(−1)=1C_{21} = -(-1) = 1 \quad C_{22} = 0 \quad C_{23} = -(-1) = 1
C31=2C32=−0=0C33=0C_{31} = 2 \quad C_{32} = -0 = 0 \quad C_{33} = 0
cof(D)=(020101200)\text{cof}(D) = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}

La matriz adjunta es la transpuesta de la matriz de cofactores:

adj(D)=(cof(D))t=(012200010)\text{adj}(D) = (\text{cof}(D))^t = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}

La matriz inversa D−1D^{-1} es:

D−1=1det⁡(D)adj(D)=12(012200010)=(01/2110001/20)D^{-1} = \frac{1}{\det(D)} \text{adj}(D) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1/2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 \end{pmatrix}

Finalmente, resolvemos para X=D−1⋅CX = D^{-1} \cdot C:

X=(01/2110001/20)⋅(3−7−2)X = \begin{pmatrix} 0 & 1/2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -7 \\ -2 \end{pmatrix}
X=((0)(3)+(1/2)(−7)+(1)(−2)(1)(3)+(0)(−7)+(0)(−2)(0)(3)+(1/2)(−7)+(0)(−2))X = \begin{pmatrix} (0)(3) + (1/2)(-7) + (1)(-2) \\ (1)(3) + (0)(-7) + (0)(-2) \\ (0)(3) + (1/2)(-7) + (0)(-2) \end{pmatrix}
X=(0−7/2−23+0+00−7/2+0)=(−11/23−7/2)X = \begin{pmatrix} 0 - 7/2 - 2 \\ 3 + 0 + 0 \\ 0 - 7/2 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11/2 \\ 3 \\ -7/2 \end{pmatrix}