T5: Probabilidad · Experimentos compuestos — MATEMATICA APLICADAS A LAS CIENCIA SOCIALES II PEvAU Andaluc%C3%ADa 2023

Experimentos compuestos

Problema

2023 · Ordinaria · Titular

BLOQUE C - EJERCICIO 5

Disponemos de una moneda trucada en la que la probabilidad de obtener cara, al lanzarla, es el doble de la de obtener cruz.

a) Halle la probabilidad de que, al lanzar la moneda, se obtenga cara.b) Halle la probabilidad de que, al lanzar dos veces la moneda, se obtenga una cara y una cruz sin importar el orden.c) Halle la probabilidad de que, al lanzar dos veces la moneda, se obtenga al menos una cara.d) Si al lanzar la moneda dos veces observamos que ha salido al menos una cara, halle la probabilidad de que se obtengan dos caras.

ProbabilidadMoneda trucadaProbabilidad condicional

Sea $P(C)$ la probabilidad de obtener cara y $P(X)$ la probabilidad de obtener cruz.Según el enunciado, la probabilidad de obtener cara es el doble de la de obtener cruz:

P(C) = 2 \cdot P(X)

Sabemos que la suma de las probabilidades de todos los resultados posibles es 1:

P(C) + P(X) = 1

Sustituyendo la primera ecuación en la segunda:

2 \cdot P(X) + P(X) = 1 \implies 3 \cdot P(X) = 1 \implies P(X) = \frac{1}{3}

Por lo tanto:

P(C) = 2 \cdot P(X) = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

a) La probabilidad de que, al lanzar la moneda, se obtenga cara es

P(C) = \frac{2}{3}

.b) Queremos la probabilidad de obtener una cara y una cruz sin importar el orden al lanzar la moneda dos veces. Esto puede ocurrir de dos maneras: (Cara, Cruz) o (Cruz, Cara).

Dado que los lanzamientos son independientes, calculamos la probabilidad de cada secuencia:

P(\text{Cara y Cruz}) = P(C) \cdot P(X) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9}

P(\text{Cruz y Cara}) = P(X) \cdot P(C) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{9}

La probabilidad de obtener una cara y una cruz sin importar el orden es la suma de estas probabilidades:

P(\text{una C y una X}) = P(C,X) + P(X,C) = \frac{2}{9} + \frac{2}{9} = \frac{4}{9}

c) La probabilidad de que, al lanzar dos veces la moneda, se obtenga al menos una cara. Es más fácil calcular la probabilidad del suceso complementario: que no se obtenga ninguna cara (es decir, dos cruces).

P(\text{dos cruces}) = P(X) \cdot P(X) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}

Entonces, la probabilidad de obtener al menos una cara es:

P(\text{al menos una C}) = 1 - P(\text{dos cruces}) = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}

d) Queremos calcular la probabilidad de obtener dos caras sabiendo que ha salido al menos una cara. Esto es una probabilidad condicionada. Sea A el suceso "se obtienen dos caras" y B el suceso "ha salido al menos una cara".

La probabilidad condicional se define como $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ .El suceso A ("dos caras") implica que la secuencia es (Cara, Cara).El suceso B ("al menos una cara") implica las secuencias (Cara, Cara), (Cara, Cruz), (Cruz, Cara).La intersección $A \cap B$ es el suceso "dos caras y al menos una cara", que es simplemente "dos caras".Calculamos $P(A)$ (probabilidad de dos caras):

P(A) = P(\text{dos caras}) = P(C) \cdot P(C) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9}

Ya calculamos $P(B)$ (probabilidad de al menos una cara) en el apartado c):

P(B) = P(\text{al menos una C}) = \frac{8}{9}

Finalmente, aplicamos la fórmula de probabilidad condicionada:

P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(\text{dos caras})}{P(\text{al menos una C})} = \frac{\frac{4}{9}}{\frac{8}{9}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}