T3: Vibraciones y ondas · Ondas armónicas — FISICA PEvAU Andaluc%C3%ADa 2020

Ondas armónicas

Problema

2020 · Ordinaria · Titular

7-b

b) Una onda viajera viene dada por la ecuación:

y(x,t) = 20 \cos(10t - 50x)

(S.I.). Calcule: i) Su velocidad de propagación. ii) La ecuación de la velocidad de oscilación y su valor máximo. iii) La ecuación de la aceleración y su valor máximo.

Ecuación de ondaVelocidad de propagaciónVelocidad de oscilación

La ecuación general de una onda viajera armónica se puede expresar como $y(x,t) = A \cos(\omega t \pm kx)$ , donde $A$ es la amplitud, $\omega$ la frecuencia angular y $k$ el número de onda. Comparando la ecuación dada $y(x,t) = 20 \cos(10t - 50x)$ (S.I.) con la forma general, identificamos los siguientes parámetros:

A = 20 \text{ m}

\omega = 10 \text{ rad/s}

k = 50 \text{ rad/m}

i) Su velocidad de propagación.

La velocidad de propagación de la onda ( $v$ ) se calcula como el cociente entre la frecuencia angular ( $\omega$ ) y el número de onda ( $k$ ):

v = \frac{\omega}{k}

v = \frac{10 \text{ rad/s}}{50 \text{ rad/m}} = 0,2 \text{ m/s}

ii) La ecuación de la velocidad de oscilación y su valor máximo.

La velocidad de oscilación de las partículas del medio ( $v_y$ ) se obtiene derivando la ecuación de la onda respecto al tiempo:

v_y(x,t) = \frac{\partial y(x,t)}{\partial t}

v_y(x,t) = \frac{\partial}{\partial t} [20 \cos(10t - 50x)]

v_y(x,t) = 20 \cdot (-\sin(10t - 50x)) \cdot (10)

v_y(x,t) = -200 \sin(10t - 50x) \text{ m/s}

El valor máximo de la velocidad de oscilación ( $v_{y,max}$ ) se obtiene cuando el valor de la función seno es $\pm 1$ . Alternativamente, se puede calcular como $A\omega$ :

v_{y,max} = |A \cdot \omega| = |20 \text{ m} \cdot 10 \text{ rad/s}| = 200 \text{ m/s}

iii) La ecuación de la aceleración y su valor máximo.

La aceleración de oscilación de las partículas del medio ( $a_y$ ) se obtiene derivando la ecuación de la velocidad de oscilación respecto al tiempo:

a_y(x,t) = \frac{\partial v_y(x,t)}{\partial t}

a_y(x,t) = \frac{\partial}{\partial t} [-200 \sin(10t - 50x)]

a_y(x,t) = -200 \cdot (\cos(10t - 50x)) \cdot (10)

a_y(x,t) = -2000 \cos(10t - 50x) \text{ m/s}^2

El valor máximo de la aceleración de oscilación ( $a_{y,max}$ ) se obtiene cuando el valor de la función coseno es $\pm 1$ . Alternativamente, se puede calcular como $A\omega^2$ :

a_{y,max} = |A \cdot \omega^2| = |20 \text{ m} \cdot (10 \text{ rad/s})^2| = |20 \cdot 100| = 2000 \text{ m/s}^2