AndalucíaAndalucía
MadridMadrid
CataluñaCataluña
GaliciaGalicia
MurciaMurcia
ValenciaValencia
En construcciónAñadimos comunidades, materias, años y soluciones de forma progresiva y constante.
T3: Geometría
Distancias y planos
Problema
2020 · Extraordinaria · Titular
8
Examen

Considera el plano π≡x−y+z=2\pi \equiv x - y + z = 2 y la recta r≡x2=y+11=z+2−1r \equiv \frac{x}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z + 2}{-1}.

a) Calcula la distancia entre rr y π\pi.b) Halla la ecuación general del plano perpendicular a π\pi que contiene a rr.
Distancia punto-planoHaz de planosGeometría métrica
a) Calcula la distancia entre rr y π\pi.

El vector normal del plano π≡x−y+z=2\pi \equiv x - y + z = 2 es n⃗π=(1,−1,1)\vec{n}_\pi = (1, -1, 1).El vector director de la recta r≡x2=y+11=z+2−1r \equiv \frac{x}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z + 2}{-1} es v⃗r=(2,1,−1)\vec{v}_r = (2, 1, -1).Calculamos el producto escalar de n⃗π\vec{n}_\pi y v⃗r\vec{v}_r para determinar si son perpendiculares (lo que implicaría que la recta es paralela al plano o está contenida en él):

n⃗π⋅v⃗r=(1)(2)+(−1)(1)+(1)(−1)=2−1−1=0\vec{n}_\pi \cdot \vec{v}_r = (1)(2) + (-1)(1) + (1)(-1) = 2 - 1 - 1 = 0

Dado que el producto escalar es cero, la recta rr es paralela al plano π\pi (o está contenida en él).Tomamos un punto de la recta rr, por ejemplo, Pr=(0,−1,−2)P_r = (0, -1, -2).La distancia entre la recta rr y el plano π\pi es la distancia de PrP_r al plano π\pi. La fórmula de la distancia de un punto (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0) a un plano Ax+By+Cz+D=0Ax + By + Cz + D = 0 es:

d=∣Ax0+By0+Cz0+D∣A2+B2+C2d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

Para el punto Pr(0,−1,−2)P_r(0, -1, -2) y el plano π≡x−y+z−2=0\pi \equiv x - y + z - 2 = 0 (A=1,B=−1,C=1,D=−2A=1, B=-1, C=1, D=-2):

d(r,π)=∣(1)(0)+(−1)(−1)+(1)(−2)−2∣12+(−1)2+12=∣0+1−2−2∣1+1+1=∣−3∣3d(r, \pi) = \frac{|(1)(0) + (-1)(-1) + (1)(-2) - 2|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2}} = \frac{|0 + 1 - 2 - 2|}{\sqrt{1 + 1 + 1}} = \frac{|-3|}{\sqrt{3}}

Racionalizando, obtenemos: d(r,π)=3d(r, \pi) = \sqrt{3}. Como la distancia no es cero, la recta es paralela al plano pero no está contenida en él.

b) Halla la ecuación general del plano perpendicular a π\pi que contiene a rr.

Sea π′\pi' el plano buscado.Como π′\pi' contiene a la recta rr, el punto Pr(0,−1,−2)P_r(0, -1, -2) de la recta rr debe pertenecer a π′\pi', y el vector director de la recta v⃗r=(2,1,−1)\vec{v}_r = (2, 1, -1) debe ser paralelo a π′\pi'.Además, π′\pi' es perpendicular a π\pi, por lo que su vector normal n⃗π′\vec{n}_{\pi'} debe ser perpendicular al vector normal de π\pi, n⃗π=(1,−1,1)\vec{n}_\pi = (1, -1, 1).El vector normal de π′\pi', n⃗π′\vec{n}_{\pi'}, debe ser perpendicular tanto a v⃗r\vec{v}_r como a n⃗π\vec{n}_\pi. Por lo tanto, podemos obtenerlo calculando el producto vectorial de estos dos vectores:

n⃗π′=v⃗r×n⃗π=∣i⃗j⃗k⃗21−11−11∣=i⃗(1⋅1−(−1)⋅(−1))−j⃗(2⋅1−(−1)⋅1)+k⃗(2⋅(−1)−1⋅1)\vec{n}_{\pi'} = \vec{v}_r \times \vec{n}_\pi = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot 1 - (-1) \cdot (-1)) - \vec{j}(2 \cdot 1 - (-1) \cdot 1) + \vec{k}(2 \cdot (-1) - 1 \cdot 1)
n⃗π′=i⃗(1−1)−j⃗(2+1)+k⃗(−2−1)=0i⃗−3j⃗−3k⃗=(0,−3,−3)\vec{n}_{\pi'} = \vec{i}(1 - 1) - \vec{j}(2 + 1) + \vec{k}(-2 - 1) = 0\vec{i} - 3\vec{j} - 3\vec{k} = (0, -3, -3)

Podemos usar un vector normal más sencillo y proporcional, como n⃗π′=(0,1,1)\vec{n}_{\pi'} = (0, 1, 1).La ecuación general del plano π′\pi' será de la forma Ax+By+Cz+D=0Ax + By + Cz + D = 0. Usando n⃗π′=(0,1,1)\vec{n}_{\pi'} = (0, 1, 1):

0x+1y+1z+D=0  ⟹  y+z+D=00x + 1y + 1z + D = 0 \implies y + z + D = 0

Como el plano π′\pi' contiene al punto Pr(0,−1,−2)P_r(0, -1, -2), sustituimos sus coordenadas en la ecuación para hallar DD:

(−1)+(−2)+D=0  ⟹  −3+D=0  ⟹  D=3(-1) + (-2) + D = 0 \implies -3 + D = 0 \implies D = 3

Por lo tanto, la ecuación general del plano π′\pi' es y+z+3=0y + z + 3 = 0.