T3: Sistemas eléctricos y electrónicos · Álgebra de Boole — TECNOLOGIA E INGENIERIA II PEvAU Andaluc%C3%ADa 2024

Álgebra de Boole

Problema

2024 · Extraordinaria · Reserva

Ejercicio 8

Dadas las funciones $F$ y $G$ :

F = \bar{X} \bar{Y} Z + \bar{X} \bar{Y} \bar{Z} + X Y Z

G = \bar{A} \bar{B} C D + \bar{A} B C D + A \bar{B} \bar{C} D + A B \bar{C} D

a) Obtener las tablas de verdad que corresponden a las funciones.b) Simplificar las dos funciones lógicas mediante el método de Karnaugh.c) Indicar las tablas de verdad y los símbolos de las puertas lógicas NAND y NOR.

Funciones lógicasTabla de verdadMapa de Karnaugh+2

Para obtener las tablas de verdad de las funciones lógicas $F$ y $G$ , se evalúan las expresiones para todas las posibles combinaciones de sus variables de entrada.Función $F = \bar{X} \bar{Y} Z + \bar{X} \bar{Y} \bar{Z} + X Y Z$

\begin{array}{|c|c|c||c|c|c|c||c|} \hline X & Y & Z & \bar{X}\bar{Y}Z & \bar{X}\bar{Y}\bar{Z} & XYZ & \text{Suma} & F \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}

Función $G = \bar{A} \bar{B} C D + \bar{A} B C D + A \bar{B} \bar{C} D + A B \bar{C} D$

\begin{array}{|c|c|c|c||c|} \hline A & B & C & D & G \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}

Para simplificar las funciones lógicas se utiliza el método de Karnaugh.Función $F = \bar{X} \bar{Y} Z + \bar{X} \bar{Y} \bar{Z} + X Y Z$ Los minterms (o términos donde $F=1$ ) son: $m_0 (000)$ , $m_1 (001)$ , $m_7 (111)$ .

\text{Mapa de Karnaugh para F:} \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \cline{2-5} \multicolumn{1}{c|}{Z \text{\textbackslash} XY} & 00 & 01 & 11 & 10 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}

Agrupaciones: 1. Un grupo de dos unos verticalmente en la columna '00' (\bar{X}\bar{Y}): $m_0 (\bar{X}\bar{Y}\bar{Z})$ y $m_1 (\bar{X}\bar{Y}Z)$ . La variable $Z$ cambia, por lo que se elimina. Término resultante: $\bar{X}\bar{Y}$ . 2. El uno restante $m_7 (XYZ)$ en la columna '11', fila '1' no puede agruparse con ningún otro implicante adyacente para formar un grupo de mayor tamaño. Término resultante: $XYZ$ .Resultado: $F_{\text{simplificada}} = \bar{X}\bar{Y} + XYZ$ Función $G = \bar{A} \bar{B} C D + \bar{A} B C D + A \bar{B} \bar{C} D + A B \bar{C} D$ Los minterms (o términos donde $G=1$ ) son: $m_3 (0011)$ , $m_7 (0111)$ , $m_9 (1001)$ , $m_{13} (1101)$ .

\text{Mapa de Karnaugh para G:} \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \cline{2-5} \multicolumn{1}{c|}{CD \text{\textbackslash} AB} & 00 & 01 & 11 & 10 \\ \hline 00 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 01 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 11 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 10 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline \end{array}

Agrupaciones: 1. Un grupo de dos unos en la fila '11' (CD) que incluye $m_3 (\bar{A}\bar{B}CD)$ y $m_7 (\bar{A}BCD)$ . La variable $B$ cambia de 0 a 1, por lo que se elimina. Término resultante: $\bar{A}CD$ . 2. Un grupo de dos unos en la fila '01' (\bar{C}D) que incluye $m_9 (A\bar{B}\bar{C}D)$ y $m_{13} (AB\bar{C}D)$ . La variable $B$ cambia de 0 a 1, por lo que se elimina. Término resultante: $A\bar{C}D$ .Resultado: $G_{\text{simplificada}} = \bar{A}CD + A\bar{C}D$

Se indican las tablas de verdad y los símbolos de las puertas lógicas NAND y NOR para dos entradas.

Puerta NAND

La puerta NAND (Not AND) produce un "1" a su salida si alguna de sus entradas es "0". Solo produce un "0" si todas sus entradas son "1". Su función lógica es $S = \overline{A \cdot B}$ .Tabla de verdad NAND:

\begin{array}{|c|c||c|} \hline A & B & S \\ \hline 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}

Símbolo de la puerta NAND: Se representa con el símbolo de una puerta AND seguido de un círculo (burbuja de inversión) en la salida.

Puerta NOR

La puerta NOR (Not OR) produce un "1" a su salida solo si todas sus entradas son "0". En cualquier otro caso, la salida es "0". Su función lógica es $S = \overline{A + B}$ .Tabla de verdad NOR:

\begin{array}{|c|c||c|} \hline A & B & S \\ \hline 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}

Símbolo de la puerta NOR: Se representa con el símbolo de una puerta OR seguido de un círculo (burbuja de inversión) en la salida.