T1: Matrices y determinantes · Ecuaciones matriciales — MATEMATICAS II PEvAU Andaluc%C3%ADa 2020

Ecuaciones matriciales

Problema

2020 · Extraordinaria · Titular

Considera $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ y $X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ .

a) Halla los valores de

\lambda

tales que

|A - \lambda I| = 0

, donde

I

es la matriz identidad de orden 3.b) Para

\lambda = 1

, resuelve el sistema dado por

(A - \lambda I)X = 0

. ¿Existe alguna solución tal que

z = 1

? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta.

DeterminantesSistemas homogéneos

a) Halla los valores de

\lambda

tales que

|A - \lambda I| = 0

, donde

I

es la matriz identidad de orden 3.

Primero, formamos la matriz $A - \lambda I$ :

A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-\lambda & 2 & 3 \\ 0 & -\lambda & 2 \\ 0 & 1 & 1-\lambda \end{pmatrix}

A continuación, calculamos el determinante de esta matriz y lo igualamos a cero:

|A - \lambda I| = (1-\lambda) \begin{vmatrix} -\lambda & 2 \\ 1 & 1-\lambda \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 1-\lambda \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} 0 & -\lambda \\ 0 & 1 \end{vmatrix}

Los dos últimos determinantes son cero porque tienen una columna de ceros. Por lo tanto:

Para hallar los valores de $\lambda$ , igualamos el determinante a cero:

(1-\lambda) (\lambda^2 - \lambda - 2) = 0

Esto nos da dos posibles casos:

1-\lambda = 0 \implies \lambda_1 = 1

Y resolvemos la ecuación cuadrática:

\lambda^2 - \lambda - 2 = 0

Usando la fórmula general para ecuaciones de segundo grado $\lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ :

\lambda = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} \\ \lambda = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} \\ \lambda = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} \\ \lambda = \frac{1 \pm 3}{2}

Obtenemos dos valores más para $\lambda$ :

\lambda_2 = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 \\ \lambda_3 = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1

Los valores de $\lambda$ para los cuales $|A - \lambda I| = 0$ son $1, 2$ y $-1$ .

b) Para

\lambda = 1

, resuelve el sistema dado por

(A - \lambda I)X = 0

. ¿Existe alguna solución tal que

z = 1

? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta.

Sustituimos $\lambda = 1$ en la matriz $A - \lambda I$ :

A - 1I = \begin{pmatrix} 1-1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 1-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}

El sistema $(A - \lambda I)X = 0$ se convierte en:

\begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}

Esto nos da el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

\begin{cases} 2y + 3z = 0 \quad (1) \\ -y + 2z = 0 \quad (2) \\ y = 0 \quad (3) \end{cases}

De la ecuación (3), obtenemos directamente que $y = 0$ . Sustituimos este valor en la ecuación (2):

-(0) + 2z = 0 \implies 2z = 0 \implies z = 0

Sustituimos $y = 0$ y $z = 0$ en la ecuación (1):

2(0) + 3(0) = 0 \implies 0 = 0

La ecuación (1) es consistente. El valor de $x$ es libre (puede ser cualquier número real) ya que no aparece en ninguna ecuación.Por lo tanto, las soluciones del sistema son de la forma:

X = \begin{pmatrix} x \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \text{donde } x \in \mathbb{R}

¿Existe alguna solución tal que $z = 1$ ? Según la solución que hemos obtenido, $z$ debe ser $0$ para que el sistema se cumpla. Si intentamos establecer $z = 1$ , tendríamos una contradicción:

\begin{cases} 2y + 3(1) = 0 \implies 2y + 3 = 0 \implies y = -3/2 \\ -y + 2(1) = 0 \implies -y + 2 = 0 \implies y = 2 \\ y = 0 \end{cases}

Como se puede observar, los valores de $y$ obtenidos de las tres ecuaciones son inconsistentes ( $-3/2 \neq 2 \neq 0$ ). Por lo tanto, no existe ninguna solución del sistema para la cual $z = 1$ .