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T6: Física nuclear
Radiactividad
Problema
2022 · Extraordinaria · Suplente
D2-b
Examen
b) De una muestra radiactiva de 0,12 kg0,12 \text{ kg} al cabo de una hora se ha desintegrado el 10%10\% de los núcleos. Determine: i) la constante de desintegración radiactiva; ii) el período de semidesintegración de la muestra; iii) la masa de la sustancia radiactiva que se ha desintegrado transcurridas cinco horas.
constante de desintegraciónperíodo de semidesintegraciónmasa desintegrada
b) i) la constante de desintegración radiactiva.

La ley de desintegración radiactiva para la masa de una muestra es:

m(t)=m0e−λtm(t) = m_0 e^{-\lambda t}

donde m(t)m(t) es la masa restante después de un tiempo tt, m0m_0 es la masa inicial y λ\lambda es la constante de desintegración. Se nos dice que al cabo de una hora (t=1 h=3600 st = 1 \text{ h} = 3600 \text{ s}), se ha desintegrado el 10%10\% de los núcleos, lo que significa que el 90%90\% de la masa inicial permanece.

m(t)=0.90⋅m0m(t) = 0.90 \cdot m_0

Sustituyendo en la ley de desintegración:

0.90⋅m0=m0e−λt0.90 \cdot m_0 = m_0 e^{-\lambda t}

Dividiendo por m0m_0 en ambos lados:

0.90=e−λt0.90 = e^{-\lambda t}

Tomamos el logaritmo natural en ambos lados:

ln⁡(0.90)=−λt\ln(0.90) = -\lambda t

Despejamos λ\lambda:

λ=−ln⁡(0.90)t\lambda = -\frac{\ln(0.90)}{t}

Sustituyendo los valores (t=3600 st = 3600 \text{ s}):

λ=−ln⁡(0.90)3600 s≈−−0.105363600 s≈2.9267×10−5 s−1\lambda = -\frac{\ln(0.90)}{3600 \text{ s}} \approx -\frac{-0.10536}{3600 \text{ s}} \approx 2.9267 \times 10^{-5} \text{ s}^{-1}
b) ii) el período de semidesintegración de la muestra.

El período de semidesintegración (T1/2T_{1/2}) está relacionado con la constante de desintegración λ\lambda mediante la fórmula:

T1/2=ln⁡2λT_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}

Sustituyendo el valor de λ\lambda calculado anteriormente:

T1/2=ln⁡22.9267×10−5 s−1≈0.69312.9267×10−5 s−1≈23689.7 sT_{1/2} = \frac{\ln 2}{2.9267 \times 10^{-5} \text{ s}^{-1}} \approx \frac{0.6931}{2.9267 \times 10^{-5} \text{ s}^{-1}} \approx 23689.7 \text{ s}

Para expresarlo en horas, dividimos por 3600 s/h3600 \text{ s/h}:

T1/2≈23689.7 s3600 s/h≈6.58 hT_{1/2} \approx \frac{23689.7 \text{ s}}{3600 \text{ s/h}} \approx 6.58 \text{ h}
b) iii) la masa de la sustancia radiactiva que se ha desintegrado transcurridas cinco horas.

Primero, calculamos la masa de la sustancia radiactiva que permanece después de cinco horas (t=5 h=5×3600 s=18000 st = 5 \text{ h} = 5 \times 3600 \text{ s} = 18000 \text{ s}). La masa inicial es m0=0.12 kgm_0 = 0.12 \text{ kg}.

m(t)=m0e−λtm(t) = m_0 e^{-\lambda t}

Sustituyendo los valores:

m(18000 s)=0.12 kg⋅e−(2.9267×10−5 s−1)⋅(18000 s)m(18000 \text{ s}) = 0.12 \text{ kg} \cdot e^{-(2.9267 \times 10^{-5} \text{ s}^{-1}) \cdot (18000 \text{ s})}
m(18000 s)=0.12 kg⋅e−0.526806≈0.12 kg⋅0.59048≈0.070858 kgm(18000 \text{ s}) = 0.12 \text{ kg} \cdot e^{-0.526806} \approx 0.12 \text{ kg} \cdot 0.59048 \approx 0.070858 \text{ kg}

La masa que se ha desintegrado es la diferencia entre la masa inicial y la masa restante:

Δm=m0−m(t)\Delta m = m_0 - m(t)

Sustituyendo los valores:

Δm=0.12 kg−0.070858 kg≈0.049142 kg\Delta m = 0.12 \text{ kg} - 0.070858 \text{ kg} \approx 0.049142 \text{ kg}