T6: Física nuclear · Radiactividad — FISICA PEvAU Andaluc%C3%ADa 2016

Radiactividad

Problema

2016 · Ordinaria · Titular

4A-b

El periodo de semidesintegración del $\ce{^{210}_{82}Pb}$ es de $22,3 \text{ años}$ .

b) Si teníamos inicialmente

3 \text{ moles}

de átomos de ese elemento y han transcurrido

100 \text{ años}

, ¿cuántos núcleos radiactivos quedan sin desintegrar?

$N_A = 6,02 \cdot 10^{23} \text{ mol}^{-1}$

Periodo de semidesintegraciónLey de desintegraciónConstante radiactiva

La ley de desintegración radiactiva establece que el número de núcleos sin desintegrar en un instante $t$ es:

N(t) = N_0 \ e^{-\lambda t}

donde $\lambda$ es la constante de desintegración, relacionada con el periodo de semidesintegración $T_{1/2}$ mediante:

\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}

Calculamos $\lambda$ :

\lambda = \frac{\ln 2}{22{,}3 \text{ años}} = \frac{0{,}6931}{22{,}3} = 3{,}109 \times 10^{-2} \text{ años}^{-1}

Calculamos el número inicial de núcleos $N_0$ a partir de los 3 moles iniciales:

N_0 = 3 \text{ mol} \times 6{,}02 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1} = 1{,}806 \times 10^{24} \text{ núcleos}

Aplicamos la ley de desintegración para $t = 100$ años:

N(100) = 1{,}806 \times 10^{24} \cdot e^{-3{,}109 \times 10^{-2} \times 100}

N(100) = 1{,}806 \times 10^{24} \cdot e^{-3{,}109}

e^{-3{,}109} = 0{,}04433

N(100) = 1{,}806 \times 10^{24} \times 0{,}04433 = 8{,}01 \times 10^{22} \text{ núcleos}

Tras 100 años, quedan aproximadamente $8{,}01 \times 10^{22}$ núcleos de $\ce{^{210}_{82}Pb}$ sin desintegrar.