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EJERCICIO 1: TRAZADOS GEOMÉTRICOS
Dado el foco F de una parábola, un punto P de la misma y la recta T tangente en dicho punto, se pide:
1. Determinar la directriz D, el eje E y el vértice V de la cónica.2. Dibujar la parábola.
Resolución del Ejercicio 1: Trazados Geométricos de la Parábola
1. Determinar la directriz D, el eje E y el vértice V de la cónica.Para determinar la directriz, el eje y el vértice, se siguen los siguientes pasos basándose en las propiedades de la parábola, utilizando los elementos dados (foco F, punto P y tangente T en P):
a) Reflejar el foco F sobre la recta tangente T. Para ello, se traza una recta perpendicular a la tangente T que pase por el foco F. Sea M el punto de intersección de esta perpendicular con la tangente T. Se prolonga esta recta más allá de M y se marca el punto F' de tal manera que . El punto F' es el simétrico de F respecto a T.b) Determinar la directriz D. Una propiedad fundamental de la parábola es que el simétrico del foco respecto a cualquier tangente de la parábola se encuentra sobre la directriz. Por lo tanto, el punto F' (obtenido en el paso anterior) pertenece a la directriz D. Además, el segmento que une el punto de tangencia P con el punto F' es perpendicular a la directriz. Así, la directriz D es la recta que pasa por F' y es perpendicular al segmento PF'.c) Determinar el eje E. El eje de la parábola es la recta que pasa por el foco F y es perpendicular a la directriz D.d) Determinar el vértice V. El vértice V de la parábola es el punto medio del segmento FQ, donde Q es el punto de intersección del eje E con la directriz D. Para encontrar V, se localiza Q (intersección de E y D) y luego se halla el punto medio entre F y Q.2. Dibujar la parábola.Una vez obtenidos la directriz D, el eje E y el foco F, se pueden determinar puntos adicionales de la parábola para trazarla con precisión:
a) Se toman varios puntos sobre la directriz D.b) Desde cada punto , se traza una recta perpendicular a la directriz D. Estas rectas serán paralelas al eje de la parábola.c) Con centro en el foco F y radio igual a la distancia del punto a la directriz (es decir, la distancia , donde es la proyección de sobre el eje), se trazan arcos que cortarán las rectas perpendiculares trazadas en el paso anterior. Los puntos de intersección son puntos de la parábola, ya que cumplen la propiedad de que su distancia al foco es igual a su distancia a la directriz ().d) Se unen el vértice V (que ya es un punto de la parábola) y los puntos obtenidos (incluyendo el punto P dado inicialmente) con una curva suave para trazar la parábola completa.