T3: Vibraciones y ondas · Movimiento Armónico Simple (M.A.S.)

Movimiento Armónico Simple (M.A.S.)

Problema

2016 · Extraordinaria · Reserva

4A-a

Sobre un plano horizontal sin rozamiento se encuentra un bloque, de masa $m = 0,25 \text{ kg}$ , sujeto al extremo libre de un resorte horizontal fijo por el otro extremo. El bloque realiza un movimiento armónico simple con un periodo de $0,1\pi \text{ s}$ y su energía cinética máxima es $0,5 \text{ J}$ .

a) Escriba la ecuación de movimiento del bloque sabiendo que en el instante inicial se encuentra en la posición de equilibrio.

MuelleEcuación de movimientoEnergía cinética

Datos del problema:Masa: $m = 0{,}25 \text{ kg}$ , Periodo: $T = 0{,}1\pi \text{ s}$ , Energía cinética máxima: $E_{c,\text{máx}} = 0{,}5 \text{ J}$ .

a) La ecuación general del movimiento armónico simple (MAS) para la posición es:

x(t) = A \cos(\omega t + \varphi_0)

Como en el instante inicial el bloque está en la posición de equilibrio ( $x(0) = 0$ ), se tiene:

x(0) = A \cos(\varphi_0) = 0 \implies \varphi_0 = \pm\frac{\pi}{2}

Tomando la fase inicial $\varphi_0 = -\dfrac{\pi}{2}$ , la ecuación queda como un seno:

x(t) = A \sin(\omega t)

Paso 1: Cálculo de la frecuencia angular $\omega$ .

\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0{,}1\pi} = 20 \text{ rad/s}

Paso 2: Cálculo de la amplitud $A$ a partir de la energía cinética máxima. La energía cinética es máxima cuando el bloque pasa por la posición de equilibrio, y en ese instante toda la energía mecánica es cinética:

E_{c,\text{máx}} = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2

Despejando la amplitud:

A = \sqrt{\frac{2\,E_{c,\text{máx}}}{m\,\omega^2}} = \sqrt{\frac{2 \times 0{,}5}{0{,}25 \times (20)^2}} = \sqrt{\frac{1}{100}} = 0{,}1 \text{ m}

Paso 3: Ecuación de movimiento del bloque. Sustituyendo $A = 0{,}1 \text{ m}$ y $\omega = 20 \text{ rad/s}$ :

\boxed{x(t) = 0{,}1\,\sin(20\,t) \quad [\text{m}]}

donde $t$ está expresado en segundos y $x$ en metros.