T6: Física nuclear · Radioactividad — FISICA PEvAU Andaluc%C3%ADa 2018

Radioactividad

Problema

2018 · Extraordinaria · Titular

4A-b

b) Determine razonadamente la cantidad de

\ce{^{3}_{1}H}

que quedará, tras una desintegración beta, de una muestra inicial de

0,1 \text{ g}

al cabo de

3

años sabiendo que el periodo de semidesintegración del

\ce{^{3}_{1}H}

12,3

años, así como la actividad de la muestra al cabo de

3

años.

Datos: $m(\ce{^{3}_{1}H}) = 3,016049 \text{ u}$ ; $1 \text{ u} = 1,67 \cdot 10^{-27} \text{ kg}$

Leyes de desintegraciónPeriodo de semidesintegraciónActividad radiactiva

b) Cantidad de

\ce{^{3}_{1}H}

restante y actividad tras 3 años.

Masa restante tras la desintegración

La ley de desintegración radiactiva establece que la masa restante en función del tiempo es:

m(t) = m_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}

Con $m_0 = 0{,}1 \text{ g}$ , $t = 3$ años y $T_{1/2} = 12{,}3$ años:

m(3) = 0{,}1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{3/12{,}3} = 0{,}1 \cdot (0{,}5)^{0{,}2439}

Calculando el exponente:

(0{,}5)^{0{,}2439} = e^{0{,}2439 \cdot \ln(0{,}5)} = e^{0{,}2439 \cdot (-0{,}6931)} = e^{-0{,}1690} \approx 0{,}8446

m(3) = 0{,}1 \cdot 0{,}8446 \approx 0{,}08446 \text{ g} \approx 8{,}45 \times 10^{-2} \text{ g}

Actividad de la muestra tras 3 años

La actividad se define como $A = \lambda \cdot N$ , donde $\lambda$ es la constante de desintegración y $N$ el número de núcleos presentes en ese instante.Primero calculamos la constante de desintegración $\lambda$ :

\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0{,}6931}{12{,}3 \text{ años}}

Convirtiendo $T_{1/2}$ a segundos:

T_{1/2} = 12{,}3 \times 365{,}25 \times 24 \times 3600 = 3{,}882 \times 10^{8} \text{ s}

\lambda = \frac{0{,}6931}{3{,}882 \times 10^{8}} = 1{,}786 \times 10^{-9} \text{ s}^{-1}

Ahora calculamos el número de núcleos $N(t)$ presentes a los 3 años, a partir de la masa restante $m(3) = 8{,}446 \times 10^{-5}$ kg. La masa de un núcleo de $\ce{^{3}_{1}H}$ es:

m_{nucleo} = 3{,}016049 \text{ u} \times 1{,}67 \times 10^{-27} \text{ kg/u} = 5{,}037 \times 10^{-27} \text{ kg}

N(3) = \frac{m(3)}{m_{nucleo}} = \frac{8{,}446 \times 10^{-5}}{5{,}037 \times 10^{-27}} = 1{,}677 \times 10^{22} \text{ núcleos}

Por tanto, la actividad a los 3 años es:

A(3) = \lambda \cdot N(3) = 1{,}786 \times 10^{-9} \times 1{,}677 \times 10^{22}

A(3) \approx 2{,}995 \times 10^{13} \text{ desintegraciones/s} \approx 3{,}00 \times 10^{13} \text{ Bq}

Resultados

Masa restante tras 3 años:

m(3) \approx 0{,}0845 \text{ g}

Actividad tras 3 años:

A(3) \approx 3{,}00 \times 10^{13} \text{ Bq}