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T1: Interacción gravitatoria
Intensidad de campo gravitatorio
Problema
2022 · Ordinaria · Reserva
A2-b
Examen
b) De un planeta se desconoce su masa, aunque se sabe que la gravedad en su superficie es la misma que en la superficie de la Tierra y que su radio es un 80%80\% del radio terrestre. i) Determine la masa del planeta. ii) Calcule la velocidad de escape del planeta.

Datos: G=6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}; MT=5,98⋅1024 kgM_T = 5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg}; RT=6370 kmR_T = 6370 \text{ km}

Interacción gravitatoriaGravedad superficialVelocidad de escape
b) i) Determine la masa del planeta.

La intensidad del campo gravitatorio en la superficie de un planeta viene dada por la expresión:

g=GMR2g = \frac{G M}{R^2}

Donde GG es la constante de gravitación universal, MM es la masa del planeta y RR es su radio. Aplicando esta expresión para la Tierra y para el planeta desconocido:

gT=GMTRT2g_T = \frac{G M_T}{R_T^2}
gP=GMPRP2g_P = \frac{G M_P}{R_P^2}

Según el enunciado, la gravedad en la superficie del planeta es la misma que en la superficie de la Tierra, es decir, gP=gTg_P = g_T. Por lo tanto:

GMPRP2=GMTRT2\frac{G M_P}{R_P^2} = \frac{G M_T}{R_T^2}

Simplificando la constante GG y despejando la masa del planeta MPM_P:

MP=MT(RPRT)2M_P = M_T \left(\frac{R_P}{R_T}\right)^2

Se sabe que el radio del planeta es un 80%80\% del radio terrestre, es decir, RP=0,80RTR_P = 0,80 R_T. Sustituyendo este valor en la ecuación:

MP=MT(0,80)2=0,64MTM_P = M_T (0,80)^2 = 0,64 M_T

Ahora, sustituimos el valor de la masa de la Tierra MT=5,98⋅1024 kgM_T = 5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg}:

MP=0,64⋅(5,98⋅1024 kg)=3,8272⋅1024 kgM_P = 0,64 \cdot (5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg}) = 3,8272 \cdot 10^{24} \text{ kg}
ii) Calcule la velocidad de escape del planeta.

La velocidad de escape de un planeta se calcula con la siguiente fórmula:

ve=2GMRv_e = \sqrt{\frac{2 G M}{R}}

Donde GG es la constante de gravitación universal, MM es la masa del planeta y RR es su radio. Para el planeta, utilizamos los valores obtenidos y dados:

MP=3,8272⋅1024 kgM_P = 3,8272 \cdot 10^{24} \text{ kg}
RT=6370 km=6,370⋅106 mR_T = 6370 \text{ km} = 6,370 \cdot 10^6 \text{ m}
RP=0,80RT=0,80⋅(6,370⋅106 m)=5,096⋅106 mR_P = 0,80 R_T = 0,80 \cdot (6,370 \cdot 10^6 \text{ m}) = 5,096 \cdot 10^6 \text{ m}
G=6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}

Sustituyendo estos valores en la fórmula de la velocidad de escape:

veP=2⋅(6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2)⋅(3,8272⋅1024 kg)5,096⋅106 mv_{eP} = \sqrt{\frac{2 \cdot (6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}) \cdot (3,8272 \cdot 10^{24} \text{ kg})}{5,096 \cdot 10^6 \text{ m}}}
veP=5,1054⋅1014 m3⋅s−25,096⋅106 m=1,0018⋅108 m2⋅s−2v_{eP} = \sqrt{\frac{5,1054 \cdot 10^{14} \text{ m}^3 \cdot \text{s}^{-2}}{5,096 \cdot 10^6 \text{ m}}} = \sqrt{1,0018 \cdot 10^8 \text{ m}^2 \cdot \text{s}^{-2}}
veP≈10008,99 m/s≈1,00⋅104 m/sv_{eP} \approx 10008,99 \text{ m/s} \approx 1,00 \cdot 10^4 \text{ m/s}