T6: Teoría de muestras · Intervalos de confianza e inferencia — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andaluc%C3%ADa 2021

Intervalos de confianza e inferencia

Problema

2021 · Ordinaria · Titular

Se desea estimar la proporción de individuos mayores de edad de una localidad que están en contra de la construcción de una central nuclear en su término municipal. Para ello, se pregunta a 100 individuos mayores de edad de esa localidad, elegidos de forma aleatoria, resultando que 45 de ellos rechazan la construcción de la central.

a) Calcule un intervalo de confianza al

92 \ \%

para estimar la proporción real de individuos de esa localidad que están en contra de la construcción de la central.b) Suponiendo que se mantiene la misma proporción muestral y el mismo nivel de confianza del apartado anterior, determine el tamaño mínimo de la muestra que hay que tomar, para que al estimar la proporción de individuos de esa localidad que rechazan la construcción de la central, el error cometido sea inferior al

5 \ \%

Intervalo de confianzaProporciónTamaño muestral+1

Datos iniciales:Tamaño de la muestra: $n = 100$ Número de individuos que rechazan la central: $X = 45$ Proporción muestral de individuos en contra: $\hat{p} = \frac{X}{n} = \frac{45}{100} = 0.45$ Proporción muestral de individuos a favor: $\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.45 = 0.55$

a) Calcule un intervalo de confianza al

92 \ \%

para estimar la proporción real de individuos de esa localidad que están en contra de la construcción de la central.

Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.92$ Entonces, $\alpha = 0.08$ y $\frac{\alpha}{2} = 0.04$ .Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z < z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.04 = 0.96$ .Consultando la tabla de la distribución normal estándar, encontramos que $z_{0.04} \approx 1.75$ .La fórmula del intervalo de confianza para una proporción es:

IC = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}, \hat{p} + z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} \right)

Calculamos el error máximo de la estimación ( $E$ ):

E = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} = 1.75 \sqrt{\frac{0.45 \cdot 0.55}{100}}

E = 1.75 \sqrt{\frac{0.2475}{100}} = 1.75 \sqrt{0.002475}

E \approx 1.75 \cdot 0.04975 \approx 0.08706

Ahora construimos el intervalo de confianza:

IC = (0.45 - 0.08706, 0.45 + 0.08706)

IC = (0.36294, 0.53706)

El intervalo de confianza al $92 \ \%$ para la proporción real de individuos en contra de la construcción de la central es $(0.3629, 0.5371)$ .

b) Suponiendo que se mantiene la misma proporción muestral y el mismo nivel de confianza del apartado anterior, determine el tamaño mínimo de la muestra que hay que tomar, para que al estimar la proporción de individuos de esa localidad que rechazan la construcción de la central, el error cometido sea inferior al

5 \ \%

Error máximo deseado: $E = 5 \ % = 0.05$ Nivel de confianza y valor crítico $z_{\alpha/2}$ se mantienen del apartado anterior: $z_{\alpha/2} = 1.75$ Proporción muestral: $\hat{p} = 0.45$ y $\hat{q} = 0.55$ La fórmula para el tamaño de la muestra es:

n = \left( \frac{z_{\alpha/2}}{E} \right)^2 \hat{p}\hat{q}

Sustituimos los valores:

n = \left( \frac{1.75}{0.05} \right)^2 \cdot 0.45 \cdot 0.55

n = (35)^2 \cdot 0.2475

n = 1225 \cdot 0.2475

n = 303.6875

Dado que el tamaño de la muestra debe ser un número entero y debemos asegurarnos de que el error sea inferior al $5 \ %$ , redondeamos al siguiente entero superior.Por lo tanto, el tamaño mínimo de la muestra que hay que tomar es $304$ individuos.