T1: Interacción gravitatoria

Gravitación universal

Teoría

2022 · Extraordinaria · Reserva

A2-a

a) Un planeta gira en torno a una estrella de masa igual a la mitad de la masa del Sol, describiendo una órbita de radio igual a la mitad del radio orbital del planeta Tierra alrededor del Sol. Discuta razonadamente cuál de los dos planetas tarda más tiempo en dar una vuelta completa en su correspondiente órbita.

Leyes de KeplerÓrbitasPeríodo orbital

a) Para comparar los tiempos que tardan en dar una vuelta completa los dos planetas en sus respectivas órbitas, utilizaremos la tercera Ley de Kepler. Esta ley relaciona el periodo orbital (

T

) de un planeta con el radio de su órbita (

R

) y la masa del cuerpo central (

M

). La expresión de la tercera Ley de Kepler es:

T^2 = \frac{4\pi^2}{GM} R^3

Donde $G$ es la constante de gravitación universal.Aplicamos esta ley para la Tierra ( $T_T$ , $R_T$ ) girando alrededor del Sol ( $M_S$ ):

T_T^2 = \frac{4\pi^2}{GM_S} R_T^3 \quad (1)

Y para el nuevo planeta ( $T_P$ , $R_P$ ) girando alrededor de su estrella ( $M_E$ ):

T_P^2 = \frac{4\pi^2}{GM_E} R_P^3 \quad (2)

Según el enunciado, la masa de la estrella es la mitad de la masa del Sol ( $M_E = M_S/2$ ) y el radio orbital del planeta es la mitad del radio orbital de la Tierra ( $R_P = R_T/2$ ). Sustituimos estas relaciones en la ecuación (2):

T_P^2 = \frac{4\pi^2}{G(M_S/2)} (R_T/2)^3

T_P^2 = \frac{4\pi^2 \cdot 2}{GM_S} \frac{R_T^3}{8}

T_P^2 = \frac{4\pi^2}{GM_S} R_T^3 \left(\frac{2}{8}\right)

T_P^2 = \frac{4\pi^2}{GM_S} R_T^3 \left(\frac{1}{4}\right)

Observamos que el término $\left(\frac{4\pi^2}{GM_S} R_T^3\right)$ es igual a $T_T^2$ según la ecuación (1). Por lo tanto:

T_P^2 = T_T^2 \left(\frac{1}{4}\right)

Tomando la raíz cuadrada en ambos lados:

T_P = \sqrt{T_T^2 \frac{1}{4}}

T_P = T_T \frac{1}{2}

Esto significa que el periodo orbital del nuevo planeta es la mitad del periodo orbital de la Tierra. Si el periodo de la Tierra es $T_T$ (aproximadamente 1 año), el periodo del nuevo planeta es $0.5 T_T$ (aproximadamente 0.5 años).Conclusión: El planeta Tierra tarda más tiempo en dar una vuelta completa en su órbita en comparación con el nuevo planeta.