La función $f(x)$ está definida a trozos por funciones elementales (racional y polinómicas) que son continuas en sus respectivos dominios. Debemos estudiar la continuidad en los puntos donde cambia la definición de la función, que son $x = -1$ y $x = 1$.• Estudio en $x = -1$:

Dado que el límite por la izquierda es diferente al límite por la derecha ($-1 \neq 1$), la función $f(x)$ no es continua en $x = -1$. Presenta una discontinuidad de salto finito.• Estudio en $x = 1$:

Como $f(1) = \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = 1$, la función $f(x)$ es continua en $x = 1$.En resumen, la función $f(x)$ es continua en $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$.

Para que una función sea derivable en un punto, es condición necesaria que sea continua en dicho punto. Dado que $f(x)$ no es continua en $x = -1$, tampoco es derivable en $x = -1$.Calculamos la función derivada en los intervalos abiertos:

• Estudio en $x = 1$ (donde la función es continua):

Dado que las derivadas laterales no coinciden ($f'(1^-) \neq f'(1^+)$), la función $f(x)$ no es derivable en $x = 1$.En resumen, la función $f(x)$ es derivable en $\mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$.

La gráfica de la función $f(x)$ se compone de tres tramos:• Para $x \leq -1$: $f(x) = \frac{1}{x}$. Es un fragmento de una hipérbola. Puntos clave son $(-1, -1)$ (incluido), $(-2, -0.5)$. La asíntota horizontal es $y=0$ (cuando $x \to -\infty$).• Para $-1 < x < 1$: $f(x) = -3x^2 + 4$. Es un fragmento de una parábola que se abre hacia abajo. Su vértice se encuentra en $(0, 4)$. Los puntos de conexión son $(-1, 1)$ (abierto) y $(1, 1)$ (abierto). Otros puntos son $(0.5, 3.25)$ y $(-0.5, 3.25)$.• Para $x \geq 1$: $f(x) = 2x - 1$. Es un fragmento de una recta. Puntos clave son $(1, 1)$ (incluido), $(2, 3)$ y $(3, 5)$. Visualmente, la gráfica presentará un salto en $x=-1$, donde la función pasa de $(-1, -1)$ a $(-1, 1)$. En $x=1$, la gráfica es continua, pero tendrá una 'esquina' debido a la no derivabilidad en ese punto.

El área solicitada se encuentra en el intervalo $[0, 3]$. En este intervalo, la función $f(x)$ cambia su definición en $x = 1$. Por lo tanto, dividiremos la integral en dos partes:

Analizamos el signo de la función en cada subintervalo:• Para $x \in [0, 1)$: $f(x) = -3x^2 + 4$. En este intervalo, la función es siempre positiva, ya que su vértice está en $(0,4)$ y sus raíces son $x = \pm \sqrt{4/3} \approx \pm 1.15$. Por tanto, la parábola está por encima del eje $x$ en $[0,1)$.• Para $x \in [1, 3]$: $f(x) = 2x - 1$. En este intervalo, la función es siempre positiva, ya que $2x-1 = 0$ para $x=0.5$, y para $x \geq 1$ la función es creciente.Dado que $f(x) \geq 0$ en todo el intervalo $[0, 3]$, el área se calcula directamente como:

Calculamos la primera integral:

Calculamos la segunda integral:

El área total es la suma de ambas integrales: