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T1: Interacción gravitatoria
Satélites
Problema
2019 · Extraordinaria · Titular
1B-b
Examen
b) El satélite Astra 2C, empleado para emitir señales de televisión, es un satélite en órbita circular geoestacionaria. Calcule: i) La altura a la que orbita respecto de la superficie de la Tierra y su velocidad. ii) La energía invertida para llevar el satélite desde la superficie de la Tierra hasta la altura de su órbita.

Datos: G=6,67⋅10−11 N m2 kg−2G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2}; MT=5,98⋅1024 kgM_T = 5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg}; RT=6370 kmR_T = 6370 \text{ km}; msateˊlite=4500 kgm_{\text{satélite}} = 4500 \text{ kg}

Satélite geoestacionarioEnergía orbitalÓrbita circular
b) i) Para un satélite en órbita circular geoestacionaria, su período de órbita TT es igual al período de rotación de la Tierra, es decir, T=24 hT = 24 \text{ h}. Convertimos este tiempo a segundos:
T=24 h⋅3600 s1 h=86400 sT = 24 \text{ h} \cdot \frac{3600 \text{ s}}{1 \text{ h}} = 86400 \text{ s}

La fuerza gravitatoria proporciona la fuerza centrípeta necesaria para la órbita. Igualamos ambas fuerzas:

Fg=Fc⇒GMTmr2=mv2rF_g = F_c \Rightarrow G \frac{M_T m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}

La velocidad orbital vv se puede expresar como v=2πrTv = \frac{2\pi r}{T}. Sustituyendo esta expresión en la ecuación anterior:

GMTmr2=m(2πr/T)2r⇒GMTr2=4π2rT2G \frac{M_T m}{r^2} = m \frac{(2\pi r / T)^2}{r} \Rightarrow G \frac{M_T}{r^2} = \frac{4\pi^2 r}{T^2}

Despejamos el radio de la órbita rr:

r3=GMTT24π2r^3 = \frac{G M_T T^2}{4\pi^2}

Sustituimos los valores numéricos:

r3=(6,67⋅10−11 N m2 kg−2)(5,98⋅1024 kg)(86400 s)24π2r3=3,366⋅1028 N m2 s2 kg−139,478r3=8,527⋅1026 m3r=(8,527⋅1026)1/3 m=(85,27⋅1024)1/3 mr≈4,399⋅107 mr^3 = \frac{(6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2}) (5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg}) (86400 \text{ s})^2}{4 \pi^2} \\ r^3 = \frac{3,366 \cdot 10^{28} \text{ N m}^2 \text{ s}^2 \text{ kg}^{-1}}{39,478} \\ r^3 = 8,527 \cdot 10^{26} \text{ m}^3 \\ r = (8,527 \cdot 10^{26})^{1/3} \text{ m} = (85,27 \cdot 10^{24})^{1/3} \text{ m} \\ r \approx 4,399 \cdot 10^7 \text{ m}

La altura hh a la que orbita el satélite respecto a la superficie de la Tierra es la diferencia entre el radio de la órbita y el radio terrestre RTR_T:

h=r−RTh=4,399⋅107 m−6,370⋅106 mh=43,99⋅106 m−6,37⋅106 mh=(43,99−6,37)⋅106 mh=37,62⋅106 m=37620 kmh = r - R_T \\ h = 4,399 \cdot 10^7 \text{ m} - 6,370 \cdot 10^6 \text{ m} \\ h = 43,99 \cdot 10^6 \text{ m} - 6,37 \cdot 10^6 \text{ m} \\ h = (43,99 - 6,37) \cdot 10^6 \text{ m} \\ h = 37,62 \cdot 10^6 \text{ m} = 37620 \text{ km}

Ahora calculamos la velocidad orbital vv:

v=2πrTv=2π(4,399⋅107 m)86400 sv=2,764⋅108 m86400 sv≈3199 m/s≈3,20⋅103 m/sv = \frac{2\pi r}{T} \\ v = \frac{2\pi (4,399 \cdot 10^7 \text{ m})}{86400 \text{ s}} \\ v = \frac{2,764 \cdot 10^8 \text{ m}}{86400 \text{ s}} \\ v \approx 3199 \text{ m/s} \approx 3,20 \cdot 10^3 \text{ m/s}
b) ii) La energía invertida para llevar el satélite desde la superficie de la Tierra hasta la altura de su órbita es la diferencia de la energía mecánica total entre el estado final (en órbita) y el estado inicial (en la superficie terrestre).

Energía mecánica en la superficie (inicial): se considera que el satélite está en reposo relativo a la superficie terrestre (ignorando la rotación para este cálculo de energía de lanzamiento, o considerándolo un punto de partida para la energía necesaria).

EM,i=Ec,i+Ep,i=0−GMTmRT=−GMTmRTE_{M,i} = E_{c,i} + E_{p,i} = 0 - G \frac{M_T m}{R_T} = -G \frac{M_T m}{R_T}

Energía mecánica en órbita (final):

EM,f=Ec,f+Ep,f=12mv2−GMTmrE_{M,f} = E_{c,f} + E_{p,f} = \frac{1}{2} m v^2 - G \frac{M_T m}{r}

Para una órbita circular, sabemos que v2=GMTrv^2 = G \frac{M_T}{r}. Sustituyendo esto en la energía cinética:

Ec,f=12m(GMTr)=12GMTmrE_{c,f} = \frac{1}{2} m \left( G \frac{M_T}{r} \right) = \frac{1}{2} G \frac{M_T m}{r}

Entonces, la energía mecánica final es:

EM,f=12GMTmr−GMTmr=−12GMTmrE_{M,f} = \frac{1}{2} G \frac{M_T m}{r} - G \frac{M_T m}{r} = -\frac{1}{2} G \frac{M_T m}{r}

La energía invertida ΔE\Delta E es la diferencia entre la energía mecánica final e inicial:

ΔE=EM,f−EM,i=(−12GMTmr)−(−GMTmRT)ΔE=GMTm(1RT−12r)\Delta E = E_{M,f} - E_{M,i} = \left( -\frac{1}{2} G \frac{M_T m}{r} \right) - \left( -G \frac{M_T m}{R_T} \right) \\ \Delta E = G M_T m \left( \frac{1}{R_T} - \frac{1}{2r} \right)

Sustituimos los valores numéricos (RT=6,370⋅106 mR_T = 6,370 \cdot 10^6 \text{ m} y r=4,399⋅107 mr = 4,399 \cdot 10^7 \text{ m}):

ΔE=(6,67⋅10−11 N m2 kg−2)(5,98⋅1024 kg)(4500 kg)(16,370⋅106 m−12⋅4,399⋅107 m)ΔE=(1,795⋅1018 J m)(16,370⋅106 m−18,798⋅107 m)ΔE=(1,795⋅1018 J m)(0,15698⋅10−6 m−1−0,01137⋅10−6 m−1)ΔE=(1,795⋅1018 J m)(0,14561⋅10−6 m−1)ΔE≈0,2613⋅1012 JΔE≈2,61⋅1011 J\Delta E = (6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2}) (5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg}) (4500 \text{ kg}) \left( \frac{1}{6,370 \cdot 10^6 \text{ m}} - \frac{1}{2 \cdot 4,399 \cdot 10^7 \text{ m}} \right) \\ \Delta E = (1,795 \cdot 10^{18} \text{ J m}) \left( \frac{1}{6,370 \cdot 10^6 \text{ m}} - \frac{1}{8,798 \cdot 10^7 \text{ m}} \right) \\ \Delta E = (1,795 \cdot 10^{18} \text{ J m}) (0,15698 \cdot 10^{-6} \text{ m}^{-1} - 0,01137 \cdot 10^{-6} \text{ m}^{-1}) \\ \Delta E = (1,795 \cdot 10^{18} \text{ J m}) (0,14561 \cdot 10^{-6} \text{ m}^{-1}) \\ \Delta E \approx 0,2613 \cdot 10^{12} \text{ J} \\ \Delta E \approx 2,61 \cdot 10^{11} \text{ J}
TierraAstra 2CFgv