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T4: Funciones
Aplicaciones a la economía
Problema
2023 · Extraordinaria · Titular
4
Examen

La función B(t)=−t2+21t−20B(t) = -t^2 + 21t - 20 con 0≤t≤150 \le t \le 15 representa el beneficio, en miles de euros, de una empresa en función de los años, tt.

a) Si la función I(t)=−t2+48tI(t) = -t^2 + 48t representa los ingresos de esta empresa, en miles de euros, para el mismo intervalo de tiempo, ¿cuál es la función de gastos de dicha empresa? ¿Cuáles son los gastos iniciales?b) Calcule el momento a partir del cual el beneficio fue positivo.c) Calcule en qué momento el beneficio fue máximo y el valor del mismo.d) Represente gráficamente la función beneficio.
Funciones cuadráticasOptimizaciónIngresos y gastos
a) Para hallar la función de gastos, G(t)G(t), utilizamos la relación B(t)=I(t)−G(t)B(t) = I(t) - G(t), de donde se deduce que G(t)=I(t)−B(t)G(t) = I(t) - B(t).
G(t)=(−t2+48t)−(−t2+21t−20)G(t) = (-t^2 + 48t) - (-t^2 + 21t - 20)
G(t)=−t2+48t+t2−21t+20G(t) = -t^2 + 48t + t^2 - 21t + 20
G(t)=27t+20G(t) = 27t + 20

La función de gastos es G(t)=27t+20G(t) = 27t + 20 (en miles de euros).Los gastos iniciales se obtienen calculando G(0)G(0):

G(0)=27(0)+20=20G(0) = 27(0) + 20 = 20

Los gastos iniciales fueron de 2020 mil euros.

b) Para determinar el momento a partir del cual el beneficio fue positivo, debemos encontrar los valores de tt para los cuales B(t)>0B(t) > 0.
−t2+21t−20>0-t^2 + 21t - 20 > 0

Primero, hallamos las raíces de la ecuación −t2+21t−20=0-t^2 + 21t - 20 = 0. Multiplicamos por −1-1 para facilitar los cálculos:

t2−21t+20=0t^2 - 21t + 20 = 0

Usamos la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado t=−b±b2−4ac2at = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}:

t=−(−21)±(−21)2−4(1)(20)2(1)t = \frac{-(-21) \pm \sqrt{(-21)^2 - 4(1)(20)}}{2(1)}
t=21±441−802t = \frac{21 \pm \sqrt{441 - 80}}{2}
t=21±3612t = \frac{21 \pm \sqrt{361}}{2}
t=21±192t = \frac{21 \pm 19}{2}

Obtenemos dos raíces:

t1=21−192=22=1t_1 = \frac{21 - 19}{2} = \frac{2}{2} = 1
t2=21+192=402=20t_2 = \frac{21 + 19}{2} = \frac{40}{2} = 20

Dado que la parábola B(t)=−t2+21t−20B(t) = -t^2 + 21t - 20 tiene un coeficiente principal negativo (abre hacia abajo), el beneficio es positivo entre las raíces, es decir, para 1<t<201 < t < 20. Considerando el intervalo de tiempo dado 0≤t≤150 \le t \le 15, el beneficio fue positivo para t∈(1,15]t \in (1, 15]. Por lo tanto, el beneficio fue positivo a partir de t=1t=1 año.

c) La función de beneficio B(t)=−t2+21t−20B(t) = -t^2 + 21t - 20 es una parábola que abre hacia abajo. El beneficio máximo se alcanza en el vértice de la parábola. La coordenada tt del vértice se calcula con la fórmula t=−b2at = \frac{-b}{2a}.

Para B(t)=−t2+21t−20B(t) = -t^2 + 21t - 20, tenemos a=−1a = -1 y b=21b = 21.

t=−212(−1)=−21−2=10.5t = \frac{-21}{2(-1)} = \frac{-21}{-2} = 10.5

El beneficio fue máximo en el momento t=10.5t = 10.5 años. Este valor está dentro del intervalo 0≤t≤150 \le t \le 15.Ahora, calculamos el valor del beneficio máximo sustituyendo t=10.5t = 10.5 en la función B(t)B(t):

B(10.5)=−(10.5)2+21(10.5)−20B(10.5) = -(10.5)^2 + 21(10.5) - 20
B(10.5)=−110.25+220.5−20B(10.5) = -110.25 + 220.5 - 20
B(10.5)=90.25B(10.5) = 90.25

El valor del beneficio máximo fue de 90.2590.25 mil euros.

d) Para representar gráficamente la función beneficio B(t)=−t2+21t−20B(t) = -t^2 + 21t - 20 en el intervalo 0≤t≤150 \le t \le 15, identificamos los siguientes puntos clave:

* Tipo de función: Parábola que abre hacia abajo.* Vértice (máximo): (10.5,90.25)(10.5, 90.25).* Cortes con el eje tt (raíces): En t=1t=1 y t=20t=20. Dentro del intervalo, solo t=1t=1. Punto: (1,0)(1, 0).* Corte con el eje B(t)B(t) (cuando t=0t=0): B(0)=−02+21(0)−20=−20B(0) = -0^2 + 21(0) - 20 = -20. Punto: (0,−20)(0, -20).* Valor en el extremo del intervalo (t=15t=15): B(15)=−(15)2+21(15)−20=−225+315−20=70B(15) = -(15)^2 + 21(15) - 20 = -225 + 315 - 20 = 70. Punto: (15,70)(15, 70).La gráfica comenzaría en (0,−20)(0, -20), cruzaría el eje tt en (1,0)(1, 0), alcanzaría su máximo en (10.5,90.25)(10.5, 90.25), y finalizaría en (15,70)(15, 70).