T1: Matrices y determinantes · Rango de matrices — MATEMATICAS II PEvAU Andaluc%C3%ADa 2024

Rango de matrices

Problema

2024 · Ordinaria · Reserva

Considera la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & a \\ 5 & 3a - 1 & 0 \end{pmatrix}$ .

a) Calcula el rango de

A

según los valores de

a

.b) Si

B = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}

X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}

a = 2

resuelve, si es posible, el sistema

AX = B

Rango de matrizSistemas de ecuacionesTeorema de Rouché-Frobenius

Estudio del rango de la matriz A y resolución de un sistema de ecuaciones

a) Calcula el rango de

A

según los valores de

a

Para estudiar el rango de la matriz $A$ , calculamos su determinante mediante el desarrollo por la segunda columna:

|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & a \\ 5 & 3a - 1 & 0 \end{vmatrix} = -(3a - 1) \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & a \end{vmatrix}

Realizando el cálculo del determinante de orden 2 obtenemos:

|A| = -(3a - 1)(a - 2) = -3a^2 + 7a - 2

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $a$ :

-3a^2 + 7a - 2 = 0 \implies a = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 24}}{-6} \implies a = 2, \quad a = \frac{1}{3}

Analizamos el rango de $A$ según los valores obtenidos:1. Si $a \neq 2$ y $a \neq \frac{1}{3}$ : El determinante $|A| \neq 0$ , por lo que el rango de $A$ es 3.2. Si $a = 2$ : El determinante $|A| = 0$ . La matriz queda:

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 2 \\ 5 & 5 & 0 \end{pmatrix}

Existe un menor de orden 2 no nulo, por ejemplo $\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 5 & 5 \end{vmatrix} = 10 \neq 0$ , por lo que el rango de $A$ es 2.3. Si $a = \frac{1}{3}$ : El determinante $|A| = 0$ . Existe un menor de orden 2 no nulo, por ejemplo $\begin{vmatrix} 2 & 1/3 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} = -5/3 \neq 0$ , por lo que el rango de $A$ es 2.

b) Si

B = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}

X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}

a = 2

resuelve, si es posible, el sistema

AX = B

Para $a = 2$ , el sistema es $AX = B$ . Analizamos el rango de la matriz ampliada $(A|B)$ :

(A|B) = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 2 & 2 \\ 5 & 5 & 0 & 4 \end{array}\right)

Observamos que la segunda fila es el doble de la primera ( $F_2 = 2F_1$ ). Como el rango de $A$ es 2 y la columna $B$ es proporcional a la primera columna en las dos primeras filas, el rango de la matriz ampliada también es 2. Según el Teorema de Rouché-Frobenius, al ser $\text{rango}(A) = \text{rango}(A|B) = 2 < 3$ (número de incógnitas), el sistema es Compatible Indeterminado.Eliminamos la ecuación redundante ( $F_2$ ) y resolvemos el sistema usando las otras dos:

\begin{cases} x + z = 1 \\ 5x + 5y = 4 \end{cases}

Tomamos $x = \lambda$ como parámetro libre. Entonces despejamos las demás variables:

z = 1 - \lambda

5y = 4 - 5\lambda \implies y = \frac{4}{5} - \lambda

La solución general del sistema es:

(x, y, z) = \left( \lambda, \frac{4}{5} - \lambda, 1 - \lambda \right) \text{ para todo } \lambda \in \mathbb{R}