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T4: Funciones
Límites y parámetros
Problema
2020 · Ordinaria · Reserva
1
Examen

Calcula aa sabiendo que lim⁡x→0(1ln⁡(1−x)−ax−1x)=72\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{\ln(1 - x)} - \frac{ax - 1}{x} \right) = \frac{7}{2} (ln⁡\ln denota la función logaritmo neperiano).

LímitesContinuidadLogaritmos

Primero, se combinan las fracciones para expresar el límite en una forma más manejable:

lim⁡x→0(1ln⁡(1−x)−ax−1x)=lim⁡x→0x−(ax−1)ln⁡(1−x)xln⁡(1−x)\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{\ln(1 - x)} - \frac{ax - 1}{x} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{x - (ax - 1)\ln(1 - x)}{x \ln(1 - x)}

Al sustituir x=0x=0, se obtiene la forma indeterminada 00\frac{0}{0}:

lim⁡x→0x−(ax−1)ln⁡(1−x)=0−(a⋅0−1)ln⁡(1)=0−(−1)⋅0=0\lim_{x \to 0} x - (ax - 1)\ln(1 - x) = 0 - (a \cdot 0 - 1)\ln(1) = 0 - (-1) \cdot 0 = 0
lim⁡x→0xln⁡(1−x)=0⋅ln⁡(1)=0⋅0=0\lim_{x \to 0} x \ln(1 - x) = 0 \cdot \ln(1) = 0 \cdot 0 = 0

Para resolver esta indeterminación, se utilizan las series de Taylor alrededor de x=0x=0 para ln⁡(1−x)\ln(1 - x):

ln⁡(1−x)=−x−x22−x33−O(x4)\ln(1 - x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - O(x^4)

Ahora, sustituimos esta expansión en el numerador de la fracción combinada:

N(x)=x−(ax−1)(−x−x22−x33−O(x4))N(x) = x - (ax - 1)\left( -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - O(x^4) \right)
N(x)=x−(−ax2−ax32−ax43+x+x22+x33+x44+O(x5))N(x) = x - \left( -ax^2 - \frac{ax^3}{2} - \frac{ax^4}{3} + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4} + O(x^5) \right)
N(x)=x−x+(a−12)x2+(a2−13)x3+O(x4)N(x) = x - x + \left( a - \frac{1}{2} \right)x^2 + \left( \frac{a}{2} - \frac{1}{3} \right)x^3 + O(x^4)
N(x)=(a−12)x2+(a2−13)x3+O(x4)N(x) = \left( a - \frac{1}{2} \right)x^2 + \left( \frac{a}{2} - \frac{1}{3} \right)x^3 + O(x^4)

Y en el denominador:

D(x)=xln⁡(1−x)=x(−x−x22−x33−O(x4))D(x) = x \ln(1 - x) = x\left( -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - O(x^4) \right)
D(x)=−x2−x32−x43−O(x5)D(x) = -x^2 - \frac{x^3}{2} - \frac{x^4}{3} - O(x^5)

Ahora, el límite se convierte en:

lim⁡x→0(a−12)x2+(a2−13)x3+O(x4)−x2−x32−x43−O(x5)\lim_{x \to 0} \frac{\left( a - \frac{1}{2} \right)x^2 + \left( \frac{a}{2} - \frac{1}{3} \right)x^3 + O(x^4)}{-x^2 - \frac{x^3}{2} - \frac{x^4}{3} - O(x^5)}

Dividimos el numerador y el denominador por x2x^2 para evaluar el límite:

lim⁡x→0(a−12)+(a2−13)x+O(x2)−1−12x−13x2−O(x3)\lim_{x \to 0} \frac{\left( a - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{a}{2} - \frac{1}{3} \right)x + O(x^2)}{-1 - \frac{1}{2}x - \frac{1}{3}x^2 - O(x^3)}

Al tomar el límite cuando x→0x \to 0, todos los términos con xx se anulan:

a−12−1=−(a−12)=12−a\frac{a - \frac{1}{2}}{-1} = -\left( a - \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} - a

Sabemos que este límite es igual a 72\frac{7}{2}:

12−a=72\frac{1}{2} - a = \frac{7}{2}

Resolvemos para aa:

−a=72−12-a = \frac{7}{2} - \frac{1}{2}
−a=62-a = \frac{6}{2}
−a=3-a = 3
a=−3a = -3