T1: Interacción gravitatoria · Campo gravitatorio — FISICA PEvAU Andaluc%C3%ADa 2018

T1: Interacción gravitatoria

Campo gravitatorio

Teoría

2018 · Extraordinaria · Suplente

1B-a

1. a) Defina velocidad de escape y deduzca razonadamente su expresión.

Velocidad de escapeEnergía mecánica

Velocidad de escape: definición y deducción

a) Definición: La velocidad de escape es la velocidad mínima que debe tener un objeto en la superficie de un cuerpo celeste (por ejemplo, la Tierra) para poder alejarse indefinidamente de él sin necesidad de recibir ningún impulso adicional, venciendo completamente su atracción gravitatoria.

Deducción de la expresión

Partimos del principio de conservación de la energía mecánica. Para que el objeto escape al infinito con velocidad mínima, la condición límite es que llegue al infinito con velocidad nula ( $v_\infty = 0$ ) y con energía potencial gravitatoria nula ( $E_p(\infty) = 0$ ).La energía mecánica total en la superficie del planeta (radio $R$ , masa $M$ ) con el objeto de masa $m$ lanzado a velocidad $v_e$ es:

E_{mec,i} = E_c + E_p = \frac{1}{2}mv_e^2 - \frac{GMm}{R}

La energía mecánica total cuando el objeto llega al infinito (condición límite):

E_{mec,f} = 0 + 0 = 0

Aplicando la conservación de la energía mecánica ( $E_{mec,i} = E_{mec,f}$ ):

\frac{1}{2}mv_e^2 - \frac{GMm}{R} = 0

Despejando $v_e$ (la masa $m$ del objeto se cancela, por lo que la velocidad de escape es independiente de la masa del proyectil):

\frac{1}{2}mv_e^2 = \frac{GMm}{R}

v_e^2 = \frac{2GM}{R}

\boxed{v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}}

Donde: $G$ es la constante de gravitación universal ( $6{,}67 \times 10^{-11}$ N·m²·kg $^{-2}$ ), $M$ es la masa del cuerpo celeste y $R$ es su radio.Nótese que, usando la relación entre la aceleración de la gravedad superficial $g = \dfrac{GM}{R^2}$ , la expresión puede escribirse también como:

v_e = \sqrt{2gR}

Para la Tierra ( $M = 5{,}97 \times 10^{24}$ kg, $R = 6{,}37 \times 10^6$ m), la velocidad de escape resulta aproximadamente $v_e \approx 11{,}2$ km/s.