T3: Vibraciones y ondas · Ondas armónicas — FISICA PEvAU Andaluc%C3%ADa 2018

Ondas armónicas

Teoría

2018 · Ordinaria · Reserva

3B-a

a) Explique, ayudándose de esquemas en cada caso, la doble periodicidad espacial y temporal de las ondas, definiendo las magnitudes que las describen e indicando, si existe, la relación entre ellas.

periodicidad espacialperiodicidad temporallongitud de onda+1

a) Doble periodicidad de las ondas: espacial y temporal

Una onda mecánica o electromagnética es un fenómeno que se repite de forma periódica en dos sentidos distintos: en el espacio (a lo largo de la dirección de propagación en un instante fijo) y en el tiempo (en un punto fijo a lo largo del tiempo). Esto se denomina doble periodicidad.

1. Periodicidad temporal

Si observamos un punto fijo del medio por el que se propaga la onda, este punto oscila de forma periódica. La magnitud que describe esta periodicidad temporal es el período $T$ , definido como el tiempo que tarda un punto del medio en completar una oscilación completa. Su unidad en el SI es el segundo (s).La frecuencia $f$ es el número de oscilaciones completas que realiza el punto por unidad de tiempo. Se mide en hercios (Hz = $ext{s}^{-1}$ ). La relación entre ambas magnitudes es:

f = \dfrac{1}{T}

2. Periodicidad espacial

Si tomamos una fotografía instantánea de la onda (imagen del medio en un instante fijo), observamos que la perturbación se repite a intervalos regulares en el espacio. La magnitud que describe esta periodicidad espacial es la longitud de onda $\lambda$ , definida como la distancia entre dos puntos consecutivos que se encuentran en el mismo estado de vibración (en fase). Su unidad en el SI es el metro (m).

3. Relación entre las magnitudes: velocidad de propagación

Existe una relación fundamental que une la periodicidad espacial y la temporal a través de la velocidad de propagación de la onda $v$ . En un período $T$ , el frente de onda avanza exactamente una longitud de onda $\lambda$ . Por tanto:

v = \dfrac{\lambda}{T} = \lambda \cdot f

Esta es la ecuación fundamental de las ondas. La velocidad $v$ depende del medio de propagación, no de la frecuencia. Si la onda pasa de un medio a otro, $f$ (y $T$ ) no cambian, pero sí cambian $v$ y $\lambda$ .

4. Resumen de magnitudes

Período

T

(s): tiempo en realizar una oscilación completa → periodicidad temporal.Frecuencia

f

(Hz): número de oscilaciones por unidad de tiempo.

f = 1/T

→ periodicidad temporal.Longitud de onda

\lambda

(m): distancia entre dos puntos consecutivos en fase → periodicidad espacial.Velocidad de propagación

v

(m/s): relaciona ambas periodicidades:

v = \lambda \cdot f

5. Esquemas de la doble periodicidad

Periodicidad ESPACIAL: representación de la onda en el espacio en un instante $t = t_0$ fijo. Se observa la repetición de la perturbación cada $\lambda$ :

A continuación se representa esquemáticamente la doble periodicidad mediante la ecuación de onda armónica. Para un punto de la onda, la elongación $y$ en función del espacio $x$ y el tiempo $t$ es:

y(x,t) = A \sin\!\left(\frac{2\pi}{T}\, t - \frac{2\pi}{\lambda}\, x\right)

donde $A$ es la amplitud (elongación máxima), el término $\dfrac{2\pi}{T}\,t$ refleja la periodicidad temporal (con período $T$ ) y el término $\dfrac{2\pi}{\lambda}\,x$ refleja la periodicidad espacial (con longitud de onda $\lambda$ ).En definitiva, una onda es periódica en el tiempo (se repite cada $T$ segundos en un punto fijo) y periódica en el espacio (se repite cada $\lambda$ metros en un instante fijo), y ambas periodicidades están relacionadas por la velocidad de propagación $v = \lambda / T = \lambda \cdot f$ .