T1: Interacción gravitatoria

Energía en el campo gravitatorio

Teoría

2017 · Extraordinaria · Titular

1B-a

a) Haciendo uso de consideraciones energéticas, deduzca la expresión de la velocidad mínima que habría que imprimirle a un objeto de masa

m

, situado en la superficie de un planeta de masa

M

y radio

R

, para que saliera de la influencia del campo gravitatorio del planeta.

Velocidad de escapeConservación de la energía

a) Deducción de la velocidad de escape mediante consideraciones energéticas

Para que un objeto escape de la influencia gravitatoria del planeta, debe alejarse hasta el infinito. En ese punto, la fuerza gravitatoria es nula y podemos considerar que la energía potencial gravitatoria vale cero.Aplicamos el principio de conservación de la energía mecánica total entre la superficie del planeta (estado inicial) y el infinito (estado final). La condición de velocidad mínima implica que el objeto llega al infinito con velocidad nula, es decir, con energía cinética final nula:

E_{\text{mec, inicial}} = E_{\text{mec, final}}

E_{c,i} + E_{p,i} = E_{c,f} + E_{p,f}

Sustituyendo las expresiones de energía cinética y energía potencial gravitatoria:

\frac{1}{2}m v_{\text{esc}}^2 + \left(-\frac{GMm}{R}\right) = 0 + 0

donde:

\frac{1}{2}m v_{\text{esc}}^2

es la energía cinética inicial del objeto en la superficie.-

-\dfrac{GMm}{R}

es la energía potencial gravitatoria en la superficie del planeta (negativa, pues el campo gravitatorio es atractivo).-

E_{c,f} = 0

porque el objeto llega al infinito con velocidad mínima, es decir, velocidad nula.-

E_{p,f} = 0

porque a distancia infinita la energía potencial gravitatoria es cero.

Despejando $v_{\text{esc}}$ de la ecuación de conservación de energía:

\frac{1}{2}m v_{\text{esc}}^2 = \frac{GMm}{R}

v_{\text{esc}}^2 = \frac{2GM}{R}

\boxed{v_{\text{esc}} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}}

Esta es la velocidad de escape o velocidad cósmica de primera especie. Nótese que es independiente de la masa $m$ del objeto lanzado, y depende únicamente de la masa $M$ y el radio $R$ del planeta. Cualquier objeto lanzado con una velocidad igual o superior a este valor escapará del campo gravitatorio del planeta.