T5: Probabilidad · Probabilidad compuesta y condicionada — MATEMATICA APLICADAS A LAS CIENCIA SOCIALES II PEvAU Andaluc%C3%ADa 2024

Probabilidad compuesta y condicionada

Problema

2024 · Extraordinaria · Suplente

BLOQUE C

Un grupo de 15 amigas se van a pasar un fin de semana a una casa rural. Al llegar reparten las tareas: 3 irán al mercado, 2 a comprar leña y el resto se quedarán en la casa. Para realizar el reparto de las tareas se introducen 15 papeletas en una urna de las que 3 tienen la palabra “mercado”, 2 la palabra “leña” y el resto la palabra “casa”. Cada una coge una papeleta de forma ordenada y sin reposición. Calcule la probabilidad de los siguientes sucesos:

a) Las dos primeras papeletas extraídas tienen escrita la palabra “mercado”.b) Las dos primeras papeletas extraídas no tienen escrita la palabra “casa”.c) Si la segunda papeleta extraída tiene escrita “leña”, ¿cuál es la probabilidad de que la primera también tenga escrita “leña”?

ProbabilidadSin reposiciónSucesos dependientes+1

Tenemos un total de 15 papeletas, distribuidas de la siguiente manera:- 3 papeletas con la palabra "mercado" (M).- 2 papeletas con la palabra "leña" (L).- $15 - 3 - 2 = 10$ papeletas con la palabra "casa" (C).Las papeletas se extraen de forma ordenada y sin reposición.

a) Las dos primeras papeletas extraídas tienen escrita la palabra “mercado”.

Sea $M_1$ el suceso de que la primera papeleta sea "mercado" y $M_2$ el suceso de que la segunda papeleta sea "mercado".La probabilidad de que la primera papeleta sea "mercado" es:

P(M_1) = \frac{3}{15}

Dado que la primera papeleta fue "mercado" y no hay reposición, quedan 14 papeletas en total y 2 de ellas son "mercado". La probabilidad de que la segunda sea "mercado" dado que la primera fue "mercado" es:

P(M_2 | M_1) = \frac{2}{14}

La probabilidad de que ambas sean "mercado" es el producto de estas probabilidades:

P(M_1 \cap M_2) = P(M_1) \cdot P(M_2 | M_1) = \frac{3}{15} \cdot \frac{2}{14} = \frac{6}{210} = \frac{1}{35}

b) Las dos primeras papeletas extraídas no tienen escrita la palabra “casa”.

Sea $NC_1$ el suceso de que la primera papeleta no sea "casa" y $NC_2$ el suceso de que la segunda papeleta no sea "casa".El número de papeletas que no son "casa" es la suma de las de "mercado" y "leña": $3 + 2 = 5$ papeletas.La probabilidad de que la primera papeleta no sea "casa" es:

P(NC_1) = \frac{5}{15}

Dado que la primera papeleta no fue "casa" y no hay reposición, quedan 14 papeletas en total y 4 de ellas no son "casa" (pues se extrajo una de las 5 iniciales). La probabilidad de que la segunda tampoco sea "casa" dado que la primera no lo fue es:

P(NC_2 | NC_1) = \frac{4}{14}

La probabilidad de que las dos primeras no sean "casa" es:

P(NC_1 \cap NC_2) = P(NC_1) \cdot P(NC_2 | NC_1) = \frac{5}{15} \cdot \frac{4}{14} = \frac{20}{210} = \frac{2}{21}

c) Si la segunda papeleta extraída tiene escrita “leña”, ¿cuál es la probabilidad de que la primera también tenga escrita “leña”?

Sea $L_1$ el suceso de que la primera papeleta sea "leña" y $L_2$ el suceso de que la segunda papeleta sea "leña".Se nos pide calcular la probabilidad condicional $P(L_1 | L_2)$ . Usamos la fórmula de la probabilidad condicional:

P(L_1 | L_2) = \frac{P(L_1 \cap L_2)}{P(L_2)}

Primero, calculamos $P(L_1 \cap L_2)$ :

P(L_1 \cap L_2) = P(L_1) \cdot P(L_2 | L_1)

La probabilidad de que la primera sea "leña" es $P(L_1) = \frac{2}{15}$ .Si la primera fue "leña", queda 1 papeleta de "leña" y un total de 14 papeletas. La probabilidad de que la segunda también sea "leña" es $P(L_2 | L_1) = \frac{1}{14}$ .Entonces:

P(L_1 \cap L_2) = \frac{2}{15} \cdot \frac{1}{14} = \frac{2}{210} = \frac{1}{105}

Ahora, calculamos $P(L_2)$ . La probabilidad de que la segunda papeleta sea "leña" se puede obtener por la probabilidad total, o por simetría, es la misma que la probabilidad de que la primera sea "leña".

P(L_2) = P(L_1) = \frac{2}{15}

Finalmente, sustituimos estos valores en la fórmula de la probabilidad condicional:

P(L_1 | L_2) = \frac{\frac{1}{105}}{\frac{2}{15}} = \frac{1}{105} \cdot \frac{15}{2} = \frac{15}{210} = \frac{1}{14}