T3: Vibraciones y ondas

Ecuación de onda armónica

Teoría

2016 · Extraordinaria · Titular

2B-b

b) Escriba la ecuación de una onda armónica que se propaga en el sentido positivo del eje X e indique el significado de las magnitudes que aparecen en ella. Escriba la ecuación de otra onda que se propague en sentido opuesto y que tenga doble amplitud y frecuencia mitad que la anterior. Razone si las velocidades de propagación de ambas ondas es la misma.

Ecuación de ondaParámetros de onda

b) Ecuación general de una onda armónica que se propaga en el sentido positivo del eje X:

y(x,t) = A \sin(\omega t - kx + \varphi_0)

Significado de las magnitudes:

y(x,t)

: elongación en el punto

x

en el instante

t

(en metros).

A

: amplitud de la onda, valor máximo de la elongación (en metros).

\omega

: frecuencia angular o pulsación,

\omega = 2\pi f = \dfrac{2\pi}{T}

(en rad/s).

k

: número de onda,

k = \dfrac{2\pi}{\lambda}

(en rad/m). El signo negativo delante de

kx

indica propagación en el sentido

+X

\varphi_0

: fase inicial de la onda (en radianes), que depende del origen de tiempos elegido.

T

: período de la onda (en segundos);

f

: frecuencia (en Hz);

\lambda

: longitud de onda (en metros).

La velocidad de propagación (velocidad de fase) de esta onda es:

v = \frac{\omega}{k} = \lambda f

Ecuación de la segunda onda (sentido negativo de X, doble amplitud y frecuencia mitad):Las nuevas características son: amplitud $A' = 2A$ , frecuencia $f' = \dfrac{f}{2}$ , por lo que la nueva pulsación es $\omega' = 2\pi f' = \pi f = \dfrac{\omega}{2}$ y el nuevo número de onda es $k' = \dfrac{\omega'}{v} = \dfrac{k}{2}$ (si la velocidad de propagación fuera la misma, algo que discutiremos a continuación).Para una onda que se propaga en el sentido negativo del eje X, el signo delante de $kx$ es positivo:

y'(x,t) = 2A \sin\!\left(\frac{\omega}{2}\, t + k'x + \varphi_0\right)

¿Tienen la misma velocidad de propagación?

La velocidad de propagación de una onda depende del medio en el que se propaga, no de las características propias de la onda (amplitud, frecuencia o longitud de onda). Por tanto, si ambas ondas se propagan en el mismo medio, su velocidad de propagación será la misma.Sin embargo, al tener la segunda onda la mitad de frecuencia, su longitud de onda será el doble, de modo que:

v' = \lambda' f' = (2\lambda)\cdot\frac{f}{2} = \lambda f = v

Efectivamente, la velocidad de propagación de ambas ondas es la misma, ya que aunque $f$ y $\lambda$ cambian, lo hacen de forma inversa, manteniendo constante el producto $v = \lambda f$ , que es una propiedad del medio.