T1: Interacción gravitatoria

Plano inclinado con rozamiento

Problema

2017 · Extraordinaria · Suplente

1A-b

Un bloque de $2 \text{ kg}$ se lanza hacia arriba por una rampa rugosa ( $\mu = 0,3$ ), que forma un ángulo de $30^\circ$ con la horizontal, con una velocidad inicial de $6 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}$ .

b) Calcule la altura máxima que alcanza el bloque respecto del suelo.

Dato: $g = 9,8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}$

EnergíaDinámica

b) Cálculo de la altura máxima que alcanza el bloque respecto del suelo.

Cuando el bloque sube por la rampa, actúan sobre él el peso, la normal y la fuerza de rozamiento (que se opone al movimiento, es decir, apunta cuesta abajo). Aplicamos la Segunda Ley de Newton a lo largo del plano inclinado para obtener la aceleración (desaceleración) durante la subida.Fuerza normal (dirección perpendicular al plano):

N = mg\cos\theta = 2 \times 9{,}8 \times \cos 30^\circ = 2 \times 9{,}8 \times 0{,}866 = 16{,}97 \text{ N}

Fuerza de rozamiento cinética:

f_r = \mu N = 0{,}3 \times 16{,}97 = 5{,}09 \text{ N}

Ecuación de Newton a lo largo del plano (tomando positivo hacia arriba del plano). Al subir, tanto la componente del peso como el rozamiento actúan hacia abajo del plano:

-mg\sin\theta - f_r = ma

a = -g\sin\theta - \mu g\cos\theta = -g(\sin\theta + \mu\cos\theta)

a = -9{,}8\,(\sin 30^\circ + 0{,}3\,\cos 30^\circ) = -9{,}8\,(0{,}5 + 0{,}3 \times 0{,}866)

a = -9{,}8\,(0{,}5 + 0{,}2598) = -9{,}8 \times 0{,}7598 = -7{,}45 \text{ m}\cdot\text{s}^{-2}

Calculamos la distancia recorrida a lo largo del plano inclinado hasta detenerse ( $v = 0$ ), usando la cinemática:

v^2 = v_0^2 + 2a\,d \implies 0 = v_0^2 + 2a\,d

d = \frac{-v_0^2}{2a} = \frac{-(6)^2}{2\times(-7{,}45)} = \frac{-36}{-14{,}90} = 2{,}42 \text{ m}

La altura máxima sobre el suelo se obtiene como la componente vertical de la distancia recorrida por el plano:

h = d\,\sin\theta = 2{,}42 \times \sin 30^\circ = 2{,}42 \times 0{,}5

\boxed{h = 1{,}21 \text{ m}}

La altura máxima que alcanza el bloque respecto del suelo es $h = 1{,}21 \text{ m}$ .