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T1: Interacción gravitatoria
Satélites en órbita circular
Problema
2025 · Extraordinaria · Titular
A-b2
Examen

Un satélite de 1400 kg1400 \text{ kg} en una órbita circular tarda un día y medio en dar la vuelta a la Tierra. Calcule razonadamente:

i) el radio de la órbita.ii) la velocidad mínima que hay que suministrarle para que abandone el campo gravitatorio terrestre desde la órbita en la que se encuentra.

Datos: G=6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}; MT=5,98⋅1024 kgM_T = 5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg}; RT=6370 kmR_T = 6370 \text{ km}; 1 dıˊa=24 h1 \text{ día} = 24 \text{ h}

Órbita circularPeriodo orbitalVelocidad de escape
TierramFgv
i) el radio de la órbita.

Para un satélite en órbita circular, la fuerza gravitatoria actúa como fuerza centrípeta. Primero, convertimos el periodo TT al Sistema Internacional (segundos):

T=1,5 dıˊas⋅24 h1 dıˊa⋅3600 s1 h=129600 sT = 1,5 \text{ días} \cdot \frac{24 \text{ h}}{1 \text{ día}} \cdot \frac{3600 \text{ s}}{1 \text{ h}} = 129600 \text{ s}

Igualamos la fuerza gravitatoria a la fuerza centrípeta, donde v=2πrTv = \frac{2\pi r}{T}:

GMT⋅mr2=mv2r  ⟹  GMTr2=4π2rT2G \frac{M_T \cdot m}{r^2} = m \frac{v^2}{r} \implies G \frac{M_T}{r^2} = \frac{4\pi^2 r}{T^2}

Despejamos el radio de la órbita rr (Ley de Kepler):

r=G⋅MT⋅T24π23r = \sqrt[3]{\frac{G \cdot M_T \cdot T^2}{4\pi^2}}

Sustituimos los valores numéricos:

r=6,67⋅10−11 N m2 kg−2⋅5,98⋅1024 kg⋅(129600 s)24π23r = \sqrt[3]{\frac{6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2} \cdot 5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg} \cdot (129600 \text{ s})^2}{4\pi^2}}
r≈5,536⋅107 mr \approx 5,536 \cdot 10^7 \text{ m}
ii) la velocidad mínima que hay que suministrarle para que abandone el campo gravitatorio terrestre desde la órbita en la que se encuentra.

Para que el satélite abandone el campo gravitatorio (llegue al infinito con velocidad nula), su energía mecánica total final debe ser cero. La velocidad necesaria en ese punto del espacio se denomina velocidad de escape vev_e:

Ec+Ep=0  ⟹  12mve2−GMTmr=0E_c + E_p = 0 \implies \frac{1}{2}m v_e^2 - G \frac{M_T m}{r} = 0

Despejamos la velocidad de escape vev_e:

ve=2GMTrv_e = \sqrt{\frac{2 G M_T}{r}}

Sustituimos el radio de la órbita obtenido en el apartado anterior:

ve=2⋅6,67⋅10−11 N m2 kg−2⋅5,98⋅1024 kg5,536⋅107 mv_e = \sqrt{\frac{2 \cdot 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2} \cdot 5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg}}{5,536 \cdot 10^7 \text{ m}}}
ve≈3796,5 m⋅s−1v_e \approx 3796,5 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}

Esta es la velocidad total que debe alcanzar el satélite en su posición orbital para escapar de la atracción terrestre.