T2: Interacción electromagnética

Electromagnetismo

Problema

2022 · Extraordinaria · Reserva

B1-b

b) Un protón que parte del reposo es acelerado, en sentido positivo del eje OX, mediante una diferencia de potencial de

850 \text{ V}

antes de entrar en un campo magnético uniforme, perpendicular a la velocidad, donde describe una trayectoria circular en sentido antihorario en el plano XY de

0,02 \text{ m}

de radio. Apoyándose en esquemas, calcule: i) el módulo del campo magnético y ii) el campo eléctrico (vector) que debería aplicarse para que la trayectoria del protón sea rectilínea.

Datos: $m_p = 1,7 \cdot 10^{-27} \text{ kg}; e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}$

Potencial eléctricoFuerza magnéticaSelector de velocidades

b) i) el módulo del campo magnético

Primero, calculamos la velocidad que adquiere el protón al ser acelerado por la diferencia de potencial. La energía potencial eléctrica se transforma en energía cinética.

e \Delta V = \frac{1}{2} m_p v^2

\begin{gathered} v = \sqrt{\frac{2 e \Delta V}{m_p}} \\ v = \sqrt{\frac{2 \cdot (1.6 \cdot 10^{-19} \text{ C}) \cdot (850 \text{ V})}{1.7 \cdot 10^{-27} \text{ kg}}} = \sqrt{\frac{272 \cdot 10^{-18}}{1.7 \cdot 10^{-27}}} = \sqrt{160 \cdot 10^9} \text{ m/s} \\ v = 4.0 \cdot 10^5 \text{ m/s} \end{gathered}

A continuación, determinamos el módulo del campo magnético. En un campo magnético, la fuerza magnética actúa como fuerza centrípeta para describir una trayectoria circular.

\begin{gathered} F_B = F_c \\ e v B = \frac{m_p v^2}{R} \end{gathered}

\begin{gathered} B = \frac{m_p v}{e R} \\ B = \frac{(1.7 \cdot 10^{-27} \text{ kg}) \cdot (4.0 \cdot 10^5 \text{ m/s})}{(1.6 \cdot 10^{-19} \text{ C}) \cdot (0.02 \text{ m})} = \frac{6.8 \cdot 10^{-22}}{3.2 \cdot 10^{-21}} \text{ T} \\ B \approx 0.21 \text{ T} \end{gathered}

Para que la trayectoria sea circular en sentido antihorario en el plano XY, con la velocidad inicial en la dirección +OX, la fuerza magnética debe apuntar inicialmente en la dirección +OY (hacia el centro de la órbita). Utilizando la regla de la mano derecha para la fuerza de Lorentz ( $\vec{F} = q (\vec{v} \times \vec{B})$ ) para una carga positiva (protón), si $\vec{v}$ está en el eje +X y $\vec{F}$ en el eje +Y, entonces $\vec{B}$ debe estar en la dirección -Z (entrante al plano XY).

b) ii) el campo eléctrico (vector) que debería aplicarse para que la trayectoria del protón sea rectilínea.

Para que la trayectoria del protón sea rectilínea, la fuerza eléctrica debe cancelar exactamente la fuerza magnética, de modo que la fuerza neta sobre el protón sea cero. Esta es la condición de un selector de velocidades.

\begin{gathered} \vec{F}_E + \vec{F}_B = 0 \implies q \vec{E} = - q (\vec{v} \times \vec{B}) \\ \vec{E} = - (\vec{v} \times \vec{B}) \end{gathered}

Donde la velocidad del protón es $\vec{v} = v \hat{i} = (4.0 \cdot 10^5 \text{ m/s}) \hat{i}$ y el campo magnético, según lo determinado anteriormente, es $\vec{B} = -B \hat{k} = -(0.2125 \text{ T}) \hat{k}$ .

\begin{gathered} \vec{E} = - [ (4.0 \cdot 10^5 \text{ m/s}) \hat{i} \times (-(0.2125 \text{ T}) \hat{k}) ] \\ \vec{E} = - [ -(4.0 \cdot 10^5 \cdot 0.2125) (\hat{i} \times \hat{k}) ] \\ \vec{E} = (8.5 \cdot 10^4) (-\hat{j}) \text{ V/m} \\ \vec{E} = -8.5 \cdot 10^4 \hat{j} \text{ V/m} \end{gathered}

El campo eléctrico debe aplicarse en la dirección negativa del eje OY, con un módulo de $8.5 \cdot 10^4 \text{ V/m}$ , para compensar la fuerza magnética y permitir que el protón siga una trayectoria rectilínea.