AndalucíaAndalucía
MadridMadrid
CataluñaCataluña
GaliciaGalicia
MurciaMurcia
ValenciaValencia
En construcciónAñadimos comunidades, materias, años y soluciones de forma progresiva y constante.
T2: Interacción electromagnética
Movimiento de cargas en campos magnéticos
Problema
2021 · Ordinaria · Titular
B2-b
Examen
b) Un protón describe una trayectoria circular en sentido antihorario en el plano XY, con una velocidad de módulo igual a 3⋅105 m⋅s−13 \cdot 10^{5} \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}, en una región en la que existe un campo magnético uniforme de 0,05 T0,05 \text{ T}.i) Justifique, con ayuda de un esquema que incluya la trayectoria descrita por el protón, la dirección y sentido del campo magnético.ii) Calcule, de forma razonada, el periodo del movimiento y el radio de la trayectoria del protón.

Datos: e=1,6⋅10−19 C;mp=1,7⋅10−27 kge = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}; m_{p} = 1,7 \cdot 10^{-27} \text{ kg}

Trayectoria circularCiclotrónFuerza de Lorentz
b) i) Justificación de la dirección y sentido del campo magnético y esquema.

Cuando una carga se mueve en un campo magnético y la fuerza magnética es la única fuerza que actúa sobre ella, si la velocidad es perpendicular al campo magnético, la carga describe una trayectoria circular. La fuerza magnética proporciona la fuerza centrípeta necesaria para este movimiento.

F⃗=q(v⃗×B⃗)\vec{F} = q (\vec{v} \times \vec{B})

El protón tiene carga positiva (q=+eq = +e). El movimiento es circular en el plano XY en sentido antihorario. Para que la fuerza sea siempre centrípeta (dirigida hacia el centro de la trayectoria) y el giro sea antihorario, aplicando la regla de la mano derecha para la dirección del producto vectorial v⃗×B⃗\vec{v} \times \vec{B}, el campo magnético B⃗\vec{B} debe ser perpendicular al plano de la trayectoria (plano XY) y estar dirigido hacia adentro del plano (en el sentido del eje Z negativo).Por ejemplo, si el protón se encuentra en la parte inferior de la trayectoria y su velocidad es hacia la derecha (dirección +X+X), para que la fuerza centrípeta apunte hacia arriba (dirección +Y+Y), el campo magnético debe apuntar hacia adentro (dirección −Z-Z). Esto se verifica con la regla de la mano derecha: si v⃗\vec{v} apunta en +X+X e F⃗\vec{F} en +Y+Y, entonces B⃗\vec{B} debe apuntar en −Z-Z (+i^×−k^=+j^+\hat{i} \times -\hat{k} = +\hat{j}).

B (entrante)⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗+vF
b) ii) Cálculo del periodo del movimiento y el radio de la trayectoria del protón.

La fuerza magnética sobre el protón es la fuerza centrípeta que le obliga a seguir la trayectoria circular. La magnitud de la fuerza magnética es FB=qvBF_B = qvB, y la fuerza centrípeta es Fc=mv2RF_c = \frac{mv^2}{R}.

FB=Fc⇒qvB=mpv2RF_B = F_c \Rightarrow qvB = \frac{m_p v^2}{R}

A partir de esta igualdad, podemos despejar el radio RR de la trayectoria:

R=mpvqBR = \frac{m_p v}{qB}

Sustituyendo los valores conocidos:

R=(1,7⋅10−27 kg)(3⋅105 m⋅s−1)(1,6⋅10−19 C)(0,05 T)=5,1⋅10−220,08⋅10−19 mR = \frac{(1,7 \cdot 10^{-27} \text{ kg}) (3 \cdot 10^{5} \text{ m} \cdot \text{s}^{-1})}{(1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}) (0,05 \text{ T})} = \frac{5,1 \cdot 10^{-22}}{0,08 \cdot 10^{-19}} \text{ m}
R=63,75⋅10−3 m=0,06375 mR = 63,75 \cdot 10^{-3} \text{ m} = 0,06375 \text{ m}

Para calcular el periodo TT del movimiento, podemos usar la relación entre la velocidad lineal vv y el radio RR con el periodo TT: v=2πRTv = \frac{2\pi R}{T}.

T=2πRvT = \frac{2\pi R}{v}

Sustituyendo el valor de RR que hemos calculado y la velocidad vv dada:

T=2π(0,06375 m)3⋅105 m⋅s−1=0,40053⋅105 sT = \frac{2\pi (0,06375 \text{ m})}{3 \cdot 10^{5} \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}} = \frac{0,4005}{3 \cdot 10^{5}} \text{ s}
T≈1,335⋅10−6 sT \approx 1,335 \cdot 10^{-6} \text{ s}

Alternativamente, el periodo también se puede expresar como T=2πmpqBT = \frac{2\pi m_p}{qB}, ya que ω=qBmp\omega = \frac{qB}{m_p} y T=2πωT = \frac{2\pi}{\omega}:

T=2π(1,7⋅10−27 kg)(1,6⋅10−19 C)(0,05 T)=1,068⋅10−260,008⋅10−19 sT = \frac{2\pi (1,7 \cdot 10^{-27} \text{ kg})}{(1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}) (0,05 \text{ T})} = \frac{1,068 \cdot 10^{-26}}{0,008 \cdot 10^{-19}} \text{ s}
T=133,5⋅10−8 s=1,335⋅10−6 sT = 133,5 \cdot 10^{-8} \text{ s} = 1,335 \cdot 10^{-6} \text{ s}