T1: Interacción gravitatoria · Campo gravitatorio — FISICA PEvAU Andaluc%C3%ADa 2019

Campo gravitatorio

Teoría

2019 · Extraordinaria · Titular

1B-a

a) i) Defina velocidad orbital y deduzca su expresión para un satélite en órbita circular en torno a la Tierra. ii) ¿Qué relación existe entre las velocidades de escape de un cuerpo si cambia su altura sobre la superficie terrestre de

2 R_T

3 R_T

Velocidad orbitalVelocidad de escapeSatélites

a) i) Definición de velocidad orbital y deducción de su expresión para un satélite en órbita circular en torno a la Tierra.

La velocidad orbital es la velocidad que debe tener un cuerpo para describir una órbita circular estable alrededor de otro cuerpo, bajo la acción de la fuerza gravitatoria. En esta situación, la fuerza gravitatoria entre los dos cuerpos proporciona la fuerza centrípeta necesaria para mantener el movimiento circular.Consideremos un satélite de masa $m$ orbitando la Tierra (o cualquier cuerpo central) de masa $M$ en una órbita circular de radio $r$ . La fuerza gravitatoria que actúa sobre el satélite es:

F_g = G \frac{M m}{r^2}

Donde $G$ es la constante de gravitación universal. Esta fuerza gravitatoria actúa como la fuerza centrípeta que mantiene al satélite en su órbita circular. La fuerza centrípeta se expresa como:

F_c = \frac{m v_o^2}{r}

Donde $v_o$ es la velocidad orbital del satélite. Igualando ambas fuerzas:

G \frac{M m}{r^2} = \frac{m v_o^2}{r}

Simplificando la masa del satélite ( $m$ ) y uno de los radios ( $r$ ):

G \frac{M}{r} = v_o^2

Despejando la velocidad orbital, obtenemos su expresión:

v_o = \sqrt{\frac{G M}{r}}

Esta expresión nos indica que la velocidad orbital depende de la masa del cuerpo central ( $M$ ) y del radio de la órbita ( $r$ ). No depende de la masa del satélite.

a) ii) Relación entre las velocidades de escape de un cuerpo si cambia su altura sobre la superficie terrestre de

2 R_T

3 R_T

La velocidad de escape ( $v_e$ ) para un cuerpo desde un punto a una distancia $R$ del centro de la Tierra (o de cualquier cuerpo central de masa $M$ ) viene dada por la expresión:

v_e = \sqrt{\frac{2 G M}{R}}

Donde $R$ es la distancia desde el centro de la Tierra hasta el punto desde el que se lanza el cuerpo. Si el cuerpo está a una altura $h$ sobre la superficie terrestre, entonces $R = R_T + h$ , siendo $R_T$ el radio de la Tierra.Para el primer caso, la altura sobre la superficie terrestre es $h_1 = 2 R_T$ . La distancia al centro de la Tierra será $R_1 = R_T + h_1 = R_T + 2 R_T = 3 R_T$ . La velocidad de escape $v_{e1}$ es:

v_{e1} = \sqrt{\frac{2 G M}{3 R_T}}

Para el segundo caso, la altura sobre la superficie terrestre es $h_2 = 3 R_T$ . La distancia al centro de la Tierra será $R_2 = R_T + h_2 = R_T + 3 R_T = 4 R_T$ . La velocidad de escape $v_{e2}$ es:

v_{e2} = \sqrt{\frac{2 G M}{4 R_T}}

Para encontrar la relación entre las dos velocidades de escape, dividimos $v_{e1}$ entre $v_{e2}$ :

\frac{v_{e1}}{v_{e2}} = \frac{\sqrt{\frac{2 G M}{3 R_T}}}{\sqrt{\frac{2 G M}{4 R_T}}}

\frac{v_{e1}}{v_{e2}} = \sqrt{\frac{\frac{2 G M}{3 R_T}}{\frac{2 G M}{4 R_T}}}

\frac{v_{e1}}{v_{e2}} = \sqrt{\frac{4 R_T}{3 R_T}}

\frac{v_{e1}}{v_{e2}} = \sqrt{\frac{4}{3}}

\frac{v_{e1}}{v_{e2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}

Por lo tanto, la relación entre las velocidades de escape es:

v_{e1} = \frac{2}{\sqrt{3}} v_{e2}