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T1: Interacción gravitatoria
Campo y potencial gravitatorio
Problema
2021 · Extraordinaria · Suplente
A2-b
Examen

Dos masas puntuales m1=8 kgm_1 = 8\text{ kg} y m2=12 kgm_2 = 12\text{ kg} están situadas en los puntos A(0,0) mA(0,0)\text{ m} y B(2,0) mB(2,0)\text{ m}, respectivamente.

b) i) Determine el punto entre las dos masas donde se anula el campo gravitatorio. ii) Calcule el trabajo que realiza la fuerza gravitatoria cuando una tercera masa m3=2 kgm_3 = 2\text{ kg} se desplaza desde el infinito hasta el punto C(2,2) mC(2,2)\text{ m}.

Dato: G=6,67⋅10−11 N m2 kg−2G = 6,67 \cdot 10^{-11}\text{ N m}^2\text{ kg}^{-2}

Punto de campo nuloTrabajo gravitatorio
b) i) Determine el punto entre las dos masas donde se anula el campo gravitatorio.

El campo gravitatorio g⃗\vec{g} debido a una masa MM en un punto P es g⃗=−GMr2r^\vec{g} = -G\frac{M}{r^2}\hat{r}, donde r^\hat{r} es el vector unitario que va desde la masa MM hasta el punto P. Para que el campo gravitatorio total se anule en un punto P entre las dos masas, los campos creados por cada masa deben tener la misma magnitud y direcciones opuestas.Las masas están en A(0,0)A(0,0) y B(2,0)B(2,0). Sea P(x,0)P(x,0) el punto donde el campo se anula, con 0<x<20 < x < 2.El campo gravitatorio debido a m1m_1 en P(x,0)P(x,0) es:

g⃗1=−Gm1x2i^\vec{g}_1 = -G\frac{m_1}{x^2} \hat{i}

El campo gravitatorio debido a m2m_2 en P(x,0)P(x,0) es:

g⃗2=−Gm2(2−x)2(−i^)=Gm2(2−x)2i^\vec{g}_2 = -G\frac{m_2}{(2-x)^2} (-\hat{i}) = G\frac{m_2}{(2-x)^2} \hat{i}

Para que el campo total sea cero, g⃗1+g⃗2=0⃗\vec{g}_1 + \vec{g}_2 = \vec{0}:

−Gm1x2i^+Gm2(2−x)2i^=0⃗-G\frac{m_1}{x^2} \hat{i} + G\frac{m_2}{(2-x)^2} \hat{i} = \vec{0}

Esto implica que las magnitudes deben ser iguales:

Gm1x2=Gm2(2−x)2G\frac{m_1}{x^2} = G\frac{m_2}{(2-x)^2}
m1x2=m2(2−x)2\frac{m_1}{x^2} = \frac{m_2}{(2-x)^2}
(2−x)2x2=m2m1\frac{(2-x)^2}{x^2} = \frac{m_2}{m_1}
2−xx=m2m1(tomamos la raıˊz positiva ya que 0<x<2)\frac{2-x}{x} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}} \quad \text{(tomamos la raíz positiva ya que } 0 < x < 2 \text{)}
2x−1=m2m1\frac{2}{x} - 1 = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}
2x=1+m2m1\frac{2}{x} = 1 + \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}
x=21+m2m1x = \frac{2}{1 + \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}}

Sustituyendo los valores m1=8 kgm_1 = 8\text{ kg} y m2=12 kgm_2 = 12\text{ kg}:

x=21+12 kg8 kg=21+32=21+32=222+3x = \frac{2}{1 + \sqrt{\frac{12\text{ kg}}{8\text{ kg}}}} = \frac{2}{1 + \sqrt{\frac{3}{2}}} = \frac{2}{1 + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}
x=222+3⋅3−23−2=26−2(2)3−2=26−4x = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{6} - 2(2)}{3-2} = 2\sqrt{6} - 4
x≈2(2.44949)−4≈4.89898−4≈0.899 mx \approx 2(2.44949) - 4 \approx 4.89898 - 4 \approx 0.899\text{ m}

El punto donde el campo gravitatorio se anula es P(0.899,0) mP(0.899, 0)\text{ m}.

ii) Calcule el trabajo que realiza la fuerza gravitatoria cuando una tercera masa m3=2 kgm_3 = 2\text{ kg} se desplaza desde el infinito hasta el punto C(2,2) mC(2,2)\text{ m}.

El trabajo realizado por la fuerza gravitatoria (WW) al mover una masa m3m_3 desde el infinito hasta un punto C es igual a la diferencia entre la energía potencial gravitatoria en el infinito y en el punto C:

W∞→C=Ep(∞)−Ep(C)W_{\infty \to C} = E_p(\infty) - E_p(C)

Dado que la energía potencial gravitatoria en el infinito es Ep(∞)=0E_p(\infty) = 0, la expresión se simplifica a:

W∞→C=−Ep(C)W_{\infty \to C} = -E_p(C)

La energía potencial gravitatoria en el punto C debida a las masas m1m_1 y m2m_2 es:

Ep(C)=−Gm1m3r1C−Gm2m3r2CE_p(C) = -G\frac{m_1 m_3}{r_{1C}} - G\frac{m_2 m_3}{r_{2C}}

Primero calculamos las distancias desde m1m_1 y m2m_2 hasta el punto C(2,2) mC(2,2)\text{ m}.Distancia r1Cr_{1C} desde m1(0,0)m_1(0,0) a C(2,2)C(2,2):

r1C=(2−0)2+(2−0)2=22+22=4+4=8=22 mr_{1C} = \sqrt{(2-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\text{ m}

Distancia r2Cr_{2C} desde m2(2,0)m_2(2,0) a C(2,2)C(2,2):

r2C=(2−2)2+(2−0)2=02+22=4=2 mr_{2C} = \sqrt{(2-2)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = \sqrt{4} = 2\text{ m}

Ahora sustituimos los valores en la expresión de la energía potencial en C:

Ep(C)=−(6.67⋅10−11 N m2 kg−2)(2 kg)(8 kg22 m+12 kg2 m)E_p(C) = - (6.67 \cdot 10^{-11}\text{ N m}^2\text{ kg}^{-2})(2\text{ kg}) \left(\frac{8\text{ kg}}{2\sqrt{2}\text{ m}} + \frac{12\text{ kg}}{2\text{ m}}\right)
Ep(C)=−1.334⋅10−10(42+6)E_p(C) = - 1.334 \cdot 10^{-10} \left(\frac{4}{\sqrt{2}} + 6\right)
Ep(C)=−1.334⋅10−10(22+6)E_p(C) = - 1.334 \cdot 10^{-10} (2\sqrt{2} + 6)
Ep(C)≈−1.334⋅10−10(2⋅1.41421+6)E_p(C) \approx - 1.334 \cdot 10^{-10} (2 \cdot 1.41421 + 6)
Ep(C)≈−1.334⋅10−10(2.82842+6)E_p(C) \approx - 1.334 \cdot 10^{-10} (2.82842 + 6)
Ep(C)≈−1.334⋅10−10(8.82842)E_p(C) \approx - 1.334 \cdot 10^{-10} (8.82842)
Ep(C)≈−1.177⋅10−9 JE_p(C) \approx -1.177 \cdot 10^{-9}\text{ J}

Finalmente, calculamos el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria:

W∞→C=−Ep(C)=−(−1.177⋅10−9 J)=1.177⋅10−9 JW_{\infty \to C} = -E_p(C) = -(-1.177 \cdot 10^{-9}\text{ J}) = 1.177 \cdot 10^{-9}\text{ J}

El trabajo realizado por la fuerza gravitatoria es 1.177⋅10−9 J1.177 \cdot 10^{-9}\text{ J}.