T1: Matrices y determinantes · Ecuaciones matriciales — MATEMATICAS II PEvAU Andaluc%C3%ADa 2023

Ecuaciones matriciales

Problema

2023 · Ordinaria · Titular

Considera las matrices $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & m \\ m & 0 & 0 \\ 0 & m & 0 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ .

a) Determina para qué valores de

m

existe la inversa de la matriz

A

.b) Para todo

m \neq -1

, resuelve, si es posible, la ecuación

AX + X = B

Inversa de una matrizEcuación matricialDeterminantes

a) Determina para qué valores de

m

existe la inversa de la matriz

A

Para que una matriz cuadrada posea inversa, su determinante debe ser distinto de cero. Calculamos el determinante de la matriz $A$ mediante la regla de Sarrus:

|A| = \begin{vmatrix} 0 & 0 & m \\ m & 0 & 0 \\ 0 & m & 0 \end{vmatrix} = 0 + 0 + m^3 - (0 + 0 + 0) = m^3

Imponemos la condición de que el determinante sea distinto de cero para que exista la inversa $A^{-1}$ :

m^3 \neq 0 \implies m \neq 0

Por lo tanto, la matriz $A$ tiene inversa para cualquier valor real $m \in \mathbb{R}$ tal que $m \neq 0$ .

b) Para todo

m \neq -1

, resuelve, si es posible, la ecuación

AX + X = B

Dada la ecuación matricial $AX + X = B$ , podemos extraer factor común de la matriz $X$ por la derecha empleando la propiedad distributiva:

(A + I)X = B

Donde $I$ es la matriz identidad de orden 3. Definimos la matriz suma $C = A + I$ :

C = \begin{pmatrix} 0 & 0 & m \\ m & 0 & 0 \\ 0 & m & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & m \\ m & 1 & 0 \\ 0 & m & 1 \end{pmatrix}

Para resolver la ecuación, debemos comprobar si la matriz $C$ es invertible calculando su determinante:

|C| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & m \\ m & 1 & 0 \\ 0 & m & 1 \end{vmatrix} = 1 + 0 + m^3 - (0 + 0 + 0) = 1 + m^3

Como el enunciado especifica que $m \neq -1$ , sabemos que $|C| = 1 + m^3 \neq 0$ , por lo que $C$ es invertible y podemos despejar $X$ multiplicando por la izquierda por $C^{-1}$ :

X = (A + I)^{-1} B

Calculamos la matriz inversa $(A + I)^{-1} = \frac{1}{|C|} \text{Adj}(C)^T$ . Obtenemos primero la matriz de cofactors y luego su transpuesta:

\text{Adj}(C)^T = \begin{pmatrix} 1 & -m & m^2 \\ m^2 & 1 & -m \\ -m & m^2 & 1 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 1 & m^2 & -m \\ -m & 1 & m^2 \\ m^2 & -m & 1 \end{pmatrix}

Sustituimos en la expresión de $X$ multiplicando por $B$ :

X = \frac{1}{1 + m^3} \begin{pmatrix} 1 & m^2 & -m \\ -m & 1 & m^2 \\ m^2 & -m & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}

Realizamos el producto de matrices:

X = \frac{1}{1 + m^3} \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + m^2 \cdot 0 - m \cdot 0 & 1 \cdot 0 + m^2 \cdot 0 - m \cdot 1 & 1 \cdot 0 + m^2 \cdot 1 - m \cdot 0 \\ -m \cdot 1 + 1 \cdot 0 + m^2 \cdot 0 & -m \cdot 0 + 1 \cdot 0 + m^2 \cdot 1 & -m \cdot 0 + 1 \cdot 1 + m^2 \cdot 0 \\ m^2 \cdot 1 - m \cdot 0 + 1 \cdot 0 & m^2 \cdot 0 - m \cdot 0 + 1 \cdot 1 & m^2 \cdot 0 - m \cdot 1 + 1 \cdot 0 \end{pmatrix}

La solución final es la matriz:

X = \frac{1}{1 + m^3} \begin{pmatrix} 1 & -m & m^2 \\ -m & m^2 & 1 \\ m^2 & 1 & -m \end{pmatrix}