La gráfica de $f'$ es una parábola cóncava hacia abajo, ya que tiene un vértice en $(0, 8)$ y corta al eje de abscisas en $(-4, 0)$ y $(4, 0)$. Esto significa que su punto máximo es $(0, 8)$. Es simétrica respecto al eje $y$.

La función $f$ es creciente cuando su derivada $f'(x) > 0$. Observando la parábola de $f'$, los valores de $f'(x)$ son positivos entre sus raíces, es decir, para $x \in (-4, 4)$.La función $f$ es decreciente cuando su derivada $f'(x) < 0$. Los valores de $f'(x)$ son negativos fuera de sus raíces, es decir, para $x \in (-\infty, -4) \cup (4, \infty)$.Los extremos relativos de $f$ ocurren donde $f'(x) = 0$ y cambia de signo. Esto sucede en $x = -4$ y en $x = 4$.En $x = -4$, $f'$ cambia de signo negativo a positivo, lo que indica un mínimo relativo para $f$.En $x = 4$, $f'$ cambia de signo positivo a negativo, lo que indica un máximo relativo para $f$.

La ecuación de una parábola con raíces $x_1$ y $x_2$ es $y = a(x - x_1)(x - x_2)$. Dado que las raíces de $f'$ son $-4$ y $4$, su ecuación es $f'(x) = a(x - (-4))(x - 4) = a(x^2 - 16)$.Sabemos que el vértice de $f'$ está en $(0, 8)$, lo que significa que $f'(0) = 8$. Sustituyendo en la ecuación:

Por lo tanto, la ecuación de la derivada es $f'(x) = -\frac{1}{2}(x^2 - 16) = -\frac{1}{2}x^2 + 8$.Para la recta tangente a la gráfica de $f$ en $x = 0$, necesitamos un punto $(x_0, y_0)$ y la pendiente $m$.El punto de tangencia es $(0, f(0))$. Como la gráfica de $f$ pasa por el origen de coordenadas, $f(0) = 0$. Así, el punto es $(0, 0)$.La pendiente de la recta tangente en $x = 0$ es $f'(0)$.

La ecuación de la recta tangente es $y - y_0 = m(x - x_0)$:

Usamos la regla del producto para derivar: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$. Aquí, $u = -3 + x^2$ y $v = e^{2x - 1}$.

Ahora aplicamos la fórmula:

Factorizamos $e^{2x - 1}$:

Reordenando los términos dentro del corchete: