T3: Vibraciones y ondas · Ondas en cuerdas — FISICA PEvAU Andaluc%C3%ADa 2018

Ondas en cuerdas

Problema

2018 · Extraordinaria · Reserva

3B-b

b) Una cuerda vibra según la ecuación:

y(x,t) = 5 \sin((\pi/3) x) \cos(40\pi t)

(SI) Calcule razonadamente: (i) La velocidad de vibración en un punto que dista

1,5 \text{ m}

del origen en el instante

t = 1,25 \text{ s}

; (ii) la distancia entre dos nodos consecutivos.

ecuación de ondavelocidad de vibraciónnodos+1

La ecuación dada corresponde a una onda estacionaria de la forma $y(x,t) = A\sin(kx)\cos(\omega t)$ , donde:

Amplitud espacial:

A = 5

mNúmero de onda:

k = \dfrac{\pi}{3}

rad/mFrecuencia angular:

\omega = 40\pi

rad/s(i) Velocidad de vibración en

x = 1{,}5

t = 1{,}25

La velocidad de vibración de un punto de la cuerda se obtiene derivando $y(x,t)$ respecto al tiempo:

v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = -A\omega\sin(kx)\sin(\omega t)

Sustituyendo los valores $A = 5$ m, $\omega = 40\pi$ rad/s, $k = \dfrac{\pi}{3}$ rad/m, $x = 1{,}5$ m y $t = 1{,}25$ s:

v_y = -5 \cdot 40\pi \cdot \sin\!\left(\frac{\pi}{3} \cdot 1{,}5\right) \cdot \sin\!(40\pi \cdot 1{,}25)

Calculamos cada factor trigonométrico:

\sin\!\left(\frac{\pi}{3} \cdot 1{,}5\right) = \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1

\sin\!(40\pi \cdot 1{,}25) = \sin\!(50\pi) = \sin(0) = 0

Dado que $50\pi$ es un múltiplo entero de $\pi$ , su seno es cero. Por tanto:

v_y = -5 \cdot 40\pi \cdot 1 \cdot 0 = 0 \ \text{m/s}

La velocidad de vibración del punto $x = 1{,}5$ m en el instante $t = 1{,}25$ s es $\mathbf{0}$ m/s. Esto es razonable porque $t = 1{,}25$ s es un instante en que $\cos(40\pi t)$ alcanza un extremo (mínimo o máximo), es decir, la cuerda pasa por su amplitud máxima y la velocidad es momentáneamente nula.

(ii) Distancia entre dos nodos consecutivos

Los nodos son los puntos donde la amplitud es siempre cero, es decir, donde $\sin(kx) = 0$ . Esto ocurre cuando:

kx = n\pi \quad \Rightarrow \quad x_n = \frac{n\pi}{k} = \frac{n\pi}{\pi/3} = 3n \quad (n = 0, 1, 2, \ldots)

La distancia entre dos nodos consecutivos ( $n$ y $n+1$ ) es:

\Delta x = x_{n+1} - x_n = 3(n+1) - 3n = 3 \ \text{m}

Alternativamente, la longitud de onda es $\lambda = \dfrac{2\pi}{k} = \dfrac{2\pi}{\pi/3} = 6$ m, y la distancia entre nodos consecutivos es siempre $\dfrac{\lambda}{2} = 3$ m.

\boxed{\Delta x_{\text{nodos}} = 3 \ \text{m}}