T3: Vibraciones y ondas · Ecuación de onda — FISICA PEvAU Andaluc%C3%ADa 2021

Ecuación de onda

Problema

2021 · Ordinaria · Reserva

C.2-b

b) Una onda, cuya amplitud es de

0,05 \text{ m}

y su número de onda

10\pi \text{ rad} \cdot \text{m}^{-1}

, se propaga por una cuerda en el sentido positivo del eje

x

con una velocidad de

2 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}

. i) Determine su ecuación teniendo en cuenta que en el instante inicial el punto

x = 0 \text{ m}

se encuentra en la posición más alta de su oscilación. ii) Razone si los puntos

x_1 = 0,6 \text{ m}

x_2 = 0,9 \text{ m}

están en fase o en oposición de fase.

Ecuación de ondaFaseNúmero de onda

b) i) Para determinar la ecuación de la onda, utilizaremos la forma general de una onda armónica que se propaga en el sentido positivo del eje

x

y(x, t) = A \cos(\omega t - kx + \phi_0)

Donde $A$ es la amplitud, $\omega$ la frecuencia angular, $k$ el número de onda y $\phi_0$ la fase inicial. Tenemos los siguientes datos:- Amplitud: $A = 0,05 \text{ m}$ - Número de onda: $k = 10\pi \text{ rad} \cdot \text{m}^{-1}$ - Velocidad de propagación: $v = 2 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}$ Calculamos la frecuencia angular $\omega$ a partir de la relación entre la velocidad de propagación, la frecuencia angular y el número de onda:

v = \frac{\omega}{k} \implies \omega = v \cdot k

\omega = (2 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}) \cdot (10\pi \text{ rad} \cdot \text{m}^{-1}) = 20\pi \text{ rad} \cdot \text{s}^{-1}

Para determinar la fase inicial $\phi_0$ , usamos la condición inicial dada: en el instante $t = 0 \text{ s}$ , el punto $x = 0 \text{ m}$ se encuentra en la posición más alta de su oscilación ( $y = A$ ). Sustituimos en la ecuación de la onda:

A = A \cos(\omega \cdot 0 - k \cdot 0 + \phi_0)

A = A \cos(\phi_0)

1 = \cos(\phi_0) \implies \phi_0 = 0 \text{ rad}

Sustituyendo todos los valores en la ecuación general de la onda, obtenemos:

y(x, t) = 0,05 \cos(20\pi t - 10\pi x) \text{ (unidades en SI)}

b) ii) Para determinar si los puntos

x_1 = 0,6 \text{ m}

x_2 = 0,9 \text{ m}

están en fase o en oposición de fase, calculamos la diferencia de fase entre ellos en un mismo instante de tiempo. La diferencia de fase

\Delta\Phi

entre dos puntos

x_1

x_2

en un instante

t

viene dada por:

\Delta\Phi = \Phi(x_2, t) - \Phi(x_1, t) = (\omega t - kx_2 + \phi_0) - (\omega t - kx_1 + \phi_0) = -k(x_2 - x_1)

Podemos considerar el valor absoluto de la diferencia de fase para analizar si están en fase o en oposición de fase:

|\Delta\Phi| = k|x_2 - x_1|

Calculamos la distancia entre los puntos:

\Delta x = x_2 - x_1 = 0,9 \text{ m} - 0,6 \text{ m} = 0,3 \text{ m}

Ahora calculamos la diferencia de fase:

|\Delta\Phi| = (10\pi \text{ rad} \cdot \text{m}^{-1}) \cdot (0,3 \text{ m}) = 3\pi \text{ rad}

Un valor de diferencia de fase de $3\pi \text{ rad}$ significa que los puntos están en oposición de fase, ya que $3\pi$ es un múltiplo impar de $\pi$ . En general, dos puntos están en fase si su diferencia de fase es un múltiplo par de $\pi$ ( $2n\pi$ ) y en oposición de fase si es un múltiplo impar de $\pi$ ( $(2n+1)\pi$ ), donde $n$ es un número entero.